Cirkler

Læringsmål)

– Identificere egenskaber ved cirkler.

– Finde omkredsen af en cirkel.

– Finde arealet af en cirkel.

– Finde arealet og omkredsen af sammensatte geometriske figurer.

Cirkler er en almindelig form. Man ser dem overalt – hjul på en bil, frisbees, der flyver gennem luften, compactdiske, der leverer data. Det er alle sammen cirkler.

En cirkel er en todimensionel figur ligesom polygoner og firkantede figurer. Cirkler måles dog anderledes end disse andre figurer – man er endda nødt til at bruge nogle forskellige udtryk for at beskrive dem. Lad os tage et kig på denne interessante form.

En cirkel repræsenterer et sæt punkter, som alle er lige langt væk fra et fast, centralt punkt. Dette faste punkt kaldes centrum. Afstanden fra cirklens centrum til et hvilket som helst punkt på cirklen kaldes radius.

Når to radier (pluralis af radius) sættes sammen til et linjestykke på tværs af cirklen, har man en diameter. Diameteren af en cirkel går gennem cirklens centrum og har sine endepunkter på selve cirklen.

Diameteren af en hvilken som helst cirkel er to gange længden af denne cirkels radius. Den kan repræsenteres ved udtrykket 2r, eller “to gange radius”. Så hvis du kender en cirkels radius, kan du gange den med 2 for at finde diameteren; det betyder også, at hvis du kender en cirkels diameter, kan du dividere med 2 for at finde radius.

Afstanden rundt om en cirkel kaldes omkredsen. (Husk, at afstanden rundt om en polygon er omkredsen.)

En interessant egenskab ved cirkler er, at forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter er det samme for alle cirkler. Uanset cirklens størrelse vil forholdet mellem omkreds og diameter være det samme.

Nedenfor er der angivet nogle faktiske mål for forskellige genstande. Målingerne er nøjagtige til nærmeste millimeter eller kvart tomme (afhængigt af den anvendte måleenhed). Se på forholdet mellem omkredsen og diameteren for hver enkelt genstand – selv om genstandene er forskellige, er forholdet for hver enkelt omtrent det samme.

Omkredsen og diameteren er omtrentlige mål, da der ikke er nogen præcis måde at måle disse dimensioner nøjagtigt på. Hvis man kunne måle dem mere præcist, ville man imidlertid opdage, at forholdet ville bevæge sig i retning af 3,14 for hver af de angivne størrelser. Det matematiske navn for forholdet er pi, og det repræsenteres af det græske bogstav .

er et decimaltal uden afslutning og uden gentagelse, så det er umuligt at skrive det fuldstændigt ud. De første 10 cifre i er 3,141592653; det bliver ofte afrundet til 3,14 eller anslået som brøken . Bemærk, at både 3,14 og er tilnærmelser af og bruges i beregninger, hvor det ikke er vigtigt at være præcis.

Da du ved, at forholdet mellem omkreds og diameter (eller ) er ensartet for alle cirkler, kan du bruge dette tal til at finde omkredsen af en cirkel, hvis du kender dens diameter.

= , så C = d

Og da d = 2r, så er C = d = (2r) = 2r.

Cirkelomkreds

For at finde omkredsen (C) af en cirkel skal du bruge en af følgende formler:

Hvis du kender diameteren (d) af en cirkel:

Hvis du kender cirklens radius (r):

Hvis du kender cirklens radius (r):

En cirkel har en radius på 8 tommer. Hvad er dens omkreds, afrundet til nærmeste tomme?

A) 25 tommer

B) 50 tommer

C) 64 tommer2

D) 201 tommer

er et vigtigt tal i geometri. Du har allerede brugt det til at beregne omkredsen af en cirkel. Du bruger også, når du skal regne arealet af en cirkel ud.

Aarealet af en cirkel

For at finde arealet (A) af en cirkel skal du bruge formlen:

En knap har en diameter på 20 millimeter. Hvad er knappens areal? Brug 3,14 som en tilnærmelse af .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Nu, hvor du ved, hvordan du beregner omkredsen og arealet af en cirkel, kan du bruge denne viden til at finde omkredsen og arealet af sammensatte figurer. Tricket til at finde ud af disse typer problemer er at identificere figurer (og dele af figurer) i den sammensatte figur, beregne deres individuelle dimensioner og derefter lægge dem sammen.

Se f.eks. på billedet nedenfor. Er det muligt at finde omkredsen?

Det første skridt er at identificere enklere figurer inden for denne sammensatte figur. Du kan opdele den i et rektangel og en halvcirkel, som vist nedenfor.

Du ved, hvordan du kan finde omkredsen af et rektangel, og du ved, hvordan du kan finde omkredsen af en cirkel. Her er omkredsen af de tre faste sider af rektanglet 8 + 20 + 20 = 48 fod. (Bemærk, at kun tre sider af rektanglet vil indgå i omkredsen af den sammensatte figur, fordi den anden side ikke ligger ved en kant; den er dækket af halvcirklen!)

For at finde omkredsen af halvcirklen skal du bruge formlen med en diameter på 8 fod, og derefter tage halvdelen af resultatet. Omkredsen af halvcirklen er , eller ca. 12,56 fod, så den samlede omkreds er ca. 60,56 fod.

Hvad er arealet (til nærmeste hundrededel) af den nedenfor viste figur? (Begge de afrundede områder er halvcirkler.)

A) 16,56 in2

B) 7,14 in2

C) 4 in2

D) 3.14 in2

Cirkler er en vigtig geometrisk form. Afstanden rundt om en cirkel kaldes omkredsen, og det indre rum i en cirkel kaldes arealet. Beregning af omkredsen og arealet af en cirkel kræver et tal kaldet pi (), som er et ikke afsluttende, ikke gentagende decimaltal. Pi tilnærmes ofte ved hjælp af værdierne 3,14 og . Du kan finde omkredsen eller arealet af sammensatte figurer – herunder figurer, der indeholder cirkulære dele – ved at anvende omkreds- og arealformlerne, hvor det er relevant.