Integration og differentiering er to meget vigtige begreber i regning. Disse bruges til at studere ændringen. Calculus har en bred vifte af anvendelser inden for mange områder af videnskab såvel som økonomi. Vi kan også finde beregning i finansverdenen samt i aktiemarkedsanalyser. I denne artikel vil vi have nogle differentierings- og integrationsformler med eksempler. Lad os lære det interessante begreb!

Differentierings- og integrationsformel

Hvad er differentiering?

Differentiering er den algebraiske procedure til beregning af de afledte. Den afledte af en funktion er hældningen eller gradienten af den givne graf i et givet punkt. Gradienten af en kurve i et givet punkt er værdien af tangenten til denne kurve i det givne punkt. For ikke-lineære kurver varierer kurvens hældning på forskellige punkter langs aksen. Det er derfor vanskeligt at beregne gradienten i sådanne tilfælde.

Det defineres også som ændringen af en egenskab i forhold til en enhedsændring af en anden egenskab.

\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)

er et mål for ændringshastigheden af f(x), i forhold til x.

Og grænseværdien af dette forhold, efterhånden som \(\Delta\) x tenderer mod nul,

dvs. \(\(\lim_{\Delta x\til 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)

kaldes den første afledte af funktionen f(x).

Hvad er integration?

Integration er processen til beregning af bestemte eller ubestemte integraler. For en funktion f(x) og et lukket interval på den reelle linje,

er det bestemte integral,

\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)

det definitte integral,

(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)

området mellem grafen for funktionen, den vandrette akse og de to lodrette linjer. Disse to linjer vil være i endepunkterne af et interval.

Når der ikke er angivet et bestemt interval, kaldes det ubestemt integral.

Vi vil beregne det bestemte integral ved hjælp af antiderivativer. Derfor er integration den omvendte proces af differentiering.

Husk, at differentiering beregner hældningen af en kurve, mens integration beregner arealet under kurven, på den anden side er integration den omvendte proces af den.

Nogle grundlæggende differentieringsformler

(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c er en konstant.

(2) \(\(\frac{d}{dx}{dx}(x)\) = 1

(3) \(\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}{dx}v \)

(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)

(7) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)

(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u dette er produktregel

Nogle grundlæggende integrationsformler

(1) \(\int 1\; dx = x+c \)

(2) \(\(\int m \;dx = mx + c \)

(3) \(\(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}}{ n+1} + c \)

(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)

(5) \(\(\int cos x \;dx = sin x + c \)

(6) \(\(\int sec^2 x \;dx = tan x +c \)

(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\; x + c \)

(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)

(9) \(\(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)

Løste eksempler til dig

Q.1: Hvad er \(\frac{d}{dx} x^5\)?

Løsning: Vi anvender formlen

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

Her n=5, Så

Løsningen er \(5x^4 \)