Definition: En trekant er en lukket figur, der består af tre linjestykker.

En trekant består af tre linjestykker og tre vinkler. I figuren ovenfor er AB, BC, CA de tre linjestykker, og ∠A, ∠B, ∠C er de tre vinkler.

Der er tre typer af trekanter baseret på siderne og tre baseret på vinklerne.

Typer af trekanter baseret på siderne

Ekvilateral trekant: En trekant, hvor alle tre sider er lige lange, er en ligesidet trekant.

Da alle sider er lige lange, er alle vinkler også lige lange.

Isosceles trekant: En trekant, hvor alle sider er lige lange, er en ligesidet trekant: En trekant med to lige lange sider er en ligebenet trekant.

De to vinkler, der ligger over for de lige lange sider, er lige store.

Skalenertrekant: En trekant med tre sider af forskellig længde kaldes en skalenet trekant.

Typer af trekanter baseret på vinkler

En skråvinklet trekant: En trekant, hvis alle vinkler er spidse, kaldes en spidsvinklet trekant eller spidsvinklet trekant.

Obutusvinklet trekant: En trekant, hvis ene vinkel er stump, kaldes en stumpvinklet trekant eller stumpvinklet trekant.

Retvinklet trekant: En trekant, hvis ene vinkel er en retvinklet vinkel, er en retvinklet trekant eller retvinklet trekant.

I figuren ovenfor kaldes den side, der er modsat den rette vinkel, BC, hypotenusen.

For en retvinklet trekant ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Dette kaldes Pythagoras’ sætning.

I trekanten ovenfor er 52 = 42 + 32. Kun en trekant, der opfylder denne betingelse, er en retvinklet trekant.

Dermed hjælper Pythagoras’ sætning til at finde ud af, om en trekant er retvinklet.

Typer af trekanter

Der findes forskellige typer af retvinklede trekanter. Fra nu af er vores fokus kun på et særligt par retvinklede trekanter.

1. 45-45-90 trekant
2. 30-60-90 trekant

45-45-90 trekant:

En 45-45-90 trekant er, som navnet antyder, en retvinklet trekant, hvor de to andre vinkler hver er 45°.

Det er en ligebenet retvinklet trekant.

I ∆ DEF er DE = DF og ∠D = 90°.

Siderne i en 45-45-90 trekants trekant er i forholdet 1 : 1 : √2.
30-60-90 trekant:

En 30-60-90 trekant er, som navnet antyder, en retvinklet trekant, hvor de to andre vinkler er 30° og 60°.

Det er en scalene retvinklet trekant, da ingen af siderne eller vinklerne er lige store.

Siderne i en 30-60-90 trekant er i forholdet 1 : √3 : 2

Som alle andre retvinklede trekanter opfylder disse to trekanter pythagoræiske sætning.

Grundlæggende egenskaber ved trekanter

• Summen af vinklerne i en trekant er 180°. Dette kaldes vinkelsummeegenskaben.
• Summen af længderne af to vilkårlige sider i en trekant er større end længden af den tredje side. Tilsvarende er forskellen mellem længderne af to vilkårlige sider i en trekant mindre end længden af den tredje side.
• Siden modsat den største vinkel er den længste side i trekanten, og siden modsat den mindste vinkel er den korteste side i trekanten.


I figuren ovenfor er ∠B den største vinkel, og den side, der ligger over for den (hypotenusen), er den største side i trekanten.



I figuren ovenfor er ∠A den største vinkel, og den modsatte side, BC, er den største side i trekanten.

• En udvendig vinkel i en trekant er lig med summen af de indvendige modsatte vinkler. Dette kaldes en trekants udvendige vinkelegenskab.


Her er ∠ACD den udvendige vinkel til ∆ABC.

I henhold til den ydre vinkelegenskab er ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Lighed og kongruens i trekanter

Figurer med samme størrelse og form er kongruente figurer. Hvis to figurer er kongruente, forbliver de kongruente, selv om de flyttes eller drejes. Figurerne vil også forblive kongruente, hvis vi spejler figurerne ved at fremstille spejlbilleder. To geometriske figurer er kongruente, hvis de dækker hinanden nøjagtigt.

Figurer med samme form, men med proportionale størrelser, er lignende figurer. De forbliver ens, selv om de flyttes eller roteres.

Sammenfald af trekanter

To trekanter siges at være ens, hvis de tilsvarende vinkler i to trekanter er kongruente, og længderne af de tilsvarende sider er proportionale.

Det skrives som ∆ ABC ∼ ∆ XYZ og siges som ∆ ABC ‘ligner’ ∆ XYZ.

Her er ∠A = ∠X, ∠B =∠Y og ∠C = ∠Z OG

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

De nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at to trekanter ligner hinanden, er som følger:
(1) Side-Side-Side-Side (SSS)-kriteriet for lighed:

Hvis tre sider af en trekant er proportionale med de tilsvarende tre sider af en anden trekant, så siges trekanterne at være ens.

Her gælder ∆ PQR ∼ ∆ DEF som

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Side-vinkel-side (SAS)-kriterium for lighed:

Hvis de tilsvarende to sider i de to trekanter er proportionale, og den ene inkluderede vinkel er lig med den tilsvarende inkluderede vinkel i en anden trekant, så er trekanterne ens.

Her gælder ∆ LMN ∼ ∆ QRS, hvor

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) AAA-kriteriet (Angle-Angle-Angle) for lighed:

Hvis de tre tilsvarende vinkler i de to trekanter er lige store, så ligner de to trekanter hinanden.

Her ∆ TUV ∼ ∆ PQR som

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q og ∠V = ∠R

Kongruens af trekanter

To trekanter siges at være kongruente, hvis alle siderne i den ene trekant er lig med de tilsvarende sider i den anden trekant, og de tilsvarende vinkler er lige store.

Det skrives som ∆ ABC ≅ ∆ XYZ og siges som ∆ ABC ‘er kongruent med’ ∆ XYZ.

De nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at to trekanter er kongruente, er som følger:
(1) Side-Side-Side-Side (SSS)-kriteriet for kongruens:

Hvis tre sider af en trekant er lig med de tilsvarende tre sider af en anden trekant, så siges trekanterne at være kongruente.

Her gælder ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, da AB = XY, BC = YZ og AC = XZ.
(2) Side-Vinkel-Side (SAS)-kriterium for kongruens:

Hvis to sider og den vinkel, der er inkluderet mellem de to sider i en trekant, er lig med de tilsvarende to sider og den inkluderede vinkel i en anden trekant, så er trekanterne kongruente.

Her gælder ∆ ABC ≅ ∆ XYZ, da AB = XY, ∠A = ∠X og AC = XZ.
(3) Vinkel-Side-Angle (ASA)-kriteriet for kongruens: Hvis to vinkler og den medfølgende side i en trekant er lig med de tilsvarende to vinkler og den medfølgende side i en anden trekant, så er trekanterne kongruente.

I figuren ovenfor er ∆ ABD ≅ ∆ CBD, hvor

∠ABD = ∠CBD, AB = CB og ∠ADB = ∠CDB.
(4) Kongruenskriteriet for kongruens med retvinklet hypotenuse: Hvis hypotenusen og den ene side i en retvinklet trekant er lig med den tilsvarende hypotenuse og side i en anden retvinklet trekant, så er trekanterne kongruente.

Her er ∠B = ∠Y = 90° og AB = XY, AC = XZ.

Aarealet af en trekant:

Aarealet af en trekant er givet ved formlen

Aarealet af en trekant = (1/2) *Basis * Højde

For at finde arealet af en trekant trækker vi en vinkelret linje fra basen til det modsatte toppunkt, som giver højden af trekanten.

Så arealet af ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 kvm.

For en retvinklet trekant er det let at finde arealet, da der er en side vinkelret på basen, så vi kan betragte den som højde.

Højden af ∆ XYZ er XY, og arealet er (1/2) * XZ * XY kvm.enheder.

Hvordan finder vi nu arealet af en stumpvinklet trekant LMN ?

For en stump trekant forlænger vi basen og trækker en vinkelret linje fra toppunktet til den forlængede base, som bliver trekantens højde.

Dermed er arealet af ∆ LMN = (1/2) * LM * NK kvm. enheder.

Løs følgende

1)

∆ ABC er en retvinklet trekant og CD ⊥ AB (⊥ står for ‘vinkelret’).

Find i) ∠ACD og ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Svar: C

Forklaring:

Overvej ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (da summen af vinkler i en trekant er 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, DCB + ∠CBD + ∠BDC + ∠BDC = 180° (igen summen af alle vinkler i en trekant)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Bestem, om følgende er retvinklede trekanter

A. Begge er retvinklede trekanter
B. ∆ ABC er ikke en retvinklet trekant, ∆ DEF er en retvinklet trekant
C. ∆ ABC er en retvinklet trekant, ∆ DEF er ikke en retvinklet trekant
D. Begge er ikke retvinklede trekanter

Svar: B

Forklaring:

Den triplet, der opfylder Pythagoras’ sætning, er den mængde af sider, der udgør en retvinklet trekant.

3)

Hvis ∆ ABC = 3 (∆ DEF), hvilken af følgende er så korrekt?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° OG DE = DF = 2 og EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° OG DE = DF = 2 og EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° OG DE = DF = 2 og EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° OG DE = DF = 3 og EF = 3

Svar: C

Forklaring:

AB og AC er lige store → modsatte vinkler er lige store.

Derfor er ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC og ∆ DEF er ens.