Historie om logaritmer

Udfindelsen af logaritmer blev forudskygget af sammenligningen af aritmetiske og geometriske sekvenser. I en geometrisk rækkefølge danner hver term et konstant forhold til sin efterfølger; f.eks. har …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000 … et fælles forhold på 10. I en aritmetisk rækkefølge adskiller hver enkelt term sig fra hinanden med en konstant, kendt som den fælles forskel; f.eks. har …-3, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3… en fælles forskel på 1. Bemærk, at en geometrisk rækkefølge kan skrives i form af dens fælles forhold; for den geometriske rækkefølge, der er givet ovenfor, gælder følgende: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Multiplikation af to tal i den geometriske rækkefølge, f.eks. 1/10 og 100, svarer til at addere de tilsvarende eksponenter for det fælles forhold, -1 og 2, for at opnå 101 = 10. Således er multiplikation omdannet til addition. Den oprindelige sammenligning mellem de to serier var imidlertid ikke baseret på nogen eksplicit brug af den eksponentielle notation; dette var en senere udvikling. I 1620 blev den første tabel baseret på begrebet om at relatere geometriske og aritmetiske sekvenser offentliggjort i Prag af den schweiziske matematiker Joost Bürgi.

Den skotske matematiker John Napier offentliggjorde sin opdagelse af logaritmerne i 1614. Hans formål var at hjælpe med multiplikation af størrelser, der dengang blev kaldt sinus. Den hele sinus var værdien af siden af en retvinklet trekant med en stor hypotenuse. (Napiers oprindelige hypotenuse var 107.) Hans definition blev givet i form af relative hastigheder.

Logaritmen af enhver sinus er derfor et tal, der meget nænsomt udtrykker den linje, der steg lige meget i den meene tid, mens linjen af hele sinus faldt proportionalt i denne sinus, idet begge bevægelser er lige tidsbestemt og begyndelsen lige forskudt.

I samarbejde med den engelske matematiker Henry Briggs justerede Napier sin logaritme til sin moderne form. For Napiers logaritme ville sammenligningen være mellem punkter, der bevæger sig på en gradueret ret linje, L-punktet (for logaritmen) bevæger sig jævnt fra minus uendeligt til plus uendeligt, X-punktet (for sinus) bevæger sig fra nul til uendeligt med en hastighed, der er proportional med afstanden fra nul. Desuden er L nul, når X er 1, og deres hastighed er lige stor i dette punkt. Essensen af Napiers opdagelse er, at dette udgør en generalisering af forholdet mellem de aritmetiske og geometriske serier, dvs. at multiplikation og potensforøgelse af værdierne af X-punktet svarer til henholdsvis addition og multiplikation af værdierne af L-punktet. I praksis er det praktisk at begrænse L og X-bevægelsen ved at kræve, at L = 1 ved X = 10 ud over betingelsen om, at X = 1 ved L = 0. Denne ændring frembragte den briggsianske eller almindelige logaritme.

Napier døde i 1617, og Briggs fortsatte alene og udgav i 1624 en tabel over logaritmer beregnet med 14 decimaler for tal fra 1 til 20.000 og fra 90.000 til 100.000. I 1628 udgav den hollandske forlægger Adriaan Vlacq en tabel med 10 pladser for værdier fra 1 til 100.000 og tilføjede de manglende 70.000 værdier. Både Briggs og Vlacq beskæftigede sig med at opstille log trigonometriske tabeller. Sådanne tidlige tabeller var enten til en hundrededel af en grad eller til et bue-minut. I det 18. århundrede blev der offentliggjort tabeller med intervaller på 10 sekunder, hvilket var praktisk for tabeller med syv decimaler. Generelt er finere intervaller nødvendige til beregning af logaritmiske funktioner af mindre tal – f.eks. ved beregning af funktionerne log sin x og log tan x.

Den omstændighed, at logaritmer var til rådighed, havde stor indflydelse på formen af plan og sfærisk trigonometri. Procedurerne for trigonometri blev omformet for at fremstille formler, hvor de operationer, der afhænger af logaritmer, udføres på én gang. Anvendelsen af tabellerne bestod da kun af to trin, nemlig at fremskaffe logaritmer og, efter at have udført beregninger med logaritmerne, at fremskaffe antilogaritmer.

Francis J. Murray