Abstract

Den enkleste vej til at forstå de såkaldte udvidelser af talbegrebet er gennem de operationer, der er omvendt af addition, multiplikation og potensering. Lad os indlede vores undersøgelser med en observation af Russell, der blotlægger den grundlæggende fejl i den indgroede opfattelse af disse nye “tal”: “En af de fejl, der har forsinket opdagelsen af korrekte definitioner i dette område, er den almindelige idé, at hver udvidelse af tal omfattede de tidligere slags som særlige tilfælde. Man troede, at når man beskæftigede sig med positive og negative hele tal, kunne man identificere de positive hele tal med de oprindelige tegnløse hele tal. Igen blev det troet, at en brøk, hvis nævner er 1, kan identificeres med det naturlige tal, som er dens tæller. Og de irrationelle tal, såsom kvadratroden af 2, blev antaget at finde deres plads blandt rationelle brøker, som værende større end nogle og mindre end de andre, således at rationelle og irrationelle tal kunne tages sammen som én klasse, kaldet “reelle tal”. Og da man udvidede begrebet tal yderligere til også at omfatte “komplekse” tal, dvs. tal, der omfatter kvadratroden af – 1, mente man, at de reelle tal kunne betragtes som dem blandt de komplekse tal, hvor den imaginære del (dvs. den del, der var et multiplum af kvadratroden af – 1) var nul. Alle disse antagelser var fejlagtige og må forkastes … hvis man vil give korrekte definitioner. “1