Det er endnu en gang Pi-dag (den 14. marts – hvilket svarer til de første cifre i Pi: 3 og 14). Inden jeg går ind på årets fejring af pi, vil jeg lige opsummere nogle af de vigtigste ting om dette fantastiske tal.

• Ude i USA burde Pi-dagen nok være den 22. juli (22/7)-denne brøk er et overraskende godt estimat af pi.
• Du kan finde værdien af pi med en masse og en fjeder.
• Værdien af pi hænger sammen med det lokale gravitationsfelt.
• Du kan finde værdien af pi ved hjælp af tilfældige tal (denne er min favorit).
• Og endelig – der er en sammenhæng mellem pi, e, 1, 0 og i (det imaginære tal).

Men i dag vil jeg beregne pi med et numerisk integral. Hvad betyder det overhovedet? Lad mig starte med et eksempel – hvordan finder man arealet af en halvcirkel?

Aarealet af en cirkel er pi gange radius i kvadrat. Dette er halvdelen af en cirkel med en radius på 1 (ingen enheder), således at den ville have et areal på pi/2. Hvis jeg finder arealet med en anden metode, kan jeg bare gange dette areal med 2 og få pi. Det er planen.

Men hvordan finder man arealet af en eller anden form – eller en hvilken som helst form for den sags skyld? Det er her, at regning kommer til at være praktisk. Jeg kan finde arealet af en halvcirkel ved at lægge arealet af en masse rektangler sammen. Det viser sig, at det er ret nemt at finde arealet af et rektangel. Lad mig lige tegne et par rektangler i denne halvcirkel, så du kan se, hvad jeg mener.

Arealet af hvert af disse tynde rektangler kan findes med formlen “base gange højde”. Et rektangel har en højde på “y” og en base på “dx”, hvor dx bare er en vilkårlig længde langs x-aksen. Jeg kan finde den faktiske værdi af højden, fordi rektanglets top rammer cirklen, hvor denne højde kan findes ud fra ligningen for en cirkel.

Nu skal jeg bare lægge alle disse rektangler sammen – bum, det er arealet af en halv cirkel. Jeg kan skrive det som en sum af arealer på denne måde:

Men vent! Er dette ikke en dårlig tilnærmelse til det faktiske areal af en cirkel (halvcirkel)? Jo, det er faktisk rigtigt – men det afhænger virkelig af bredden af disse små rektangler med et lille areal. Faktisk, hvis jeg tager grænsen, når bredden (dx) går til nul, så får jeg det nøjagtige areal. Dette er faktisk definitionen af integralet i regning – men det vil jeg gemme til en anden dag. I stedet vil vi foretage en numerisk beregning ved simpelthen at lægge arealet af en række rektangler sammen. Du kan selvfølgelig gøre dette i hånden – men det kan blive kedeligt. Lad os i stedet gøre det med et computerprogram. Jep.

Her er numerisk beregning i python. Du kan gå videre og køre koden ved at trykke på “play”-knappen, men jeg vil give nogle kodekommentarer nedenfor.

Du kan ændre koden, hvis det gør dig glad – her er et par ting, du skal overveje.

• Dette er en numerisk beregning. Det betyder, at programmet kun beskæftiger sig med tal. Teknisk set burde arealet have enhederne m2 eller noget i den retning, men ikke her. Kun tal.
• For sløjfer i python omfatter det alt, der er tabuleret, som en del af sløjfen. Når du dementerer, er det ikke længere i en løkke.
• Linje 18 burde se underlig ud, fordi det er den. Hvis du betragter dette som en algebraisk ligning, burde A’et ophæve sig, da det er på begge sider af ligningen – men dette er ikke en ligning. I python (og de fleste andre sprog) betyder “=” “gøre lig med”. Denne linje tager den gamle værdi af A, tilføjer de nye ting og gør den derefter til den nye værdi af A.

Denne indledende beregning har en dx på 0,1. Det betyder, at der kun vil være 20 rektangler, der skal lægges sammen for at få arealet af halvcirklen. Dermed får jeg en tilnærmet pi-værdi på 3,10452 – hvilket tydeligvis ikke er nøjagtig pi. Jeg kan selvfølgelig lave et bedre skøn ved at lave rektangler med mindre bredde. Du bør prøve dette ved at ændre koden ovenfor (hint: ændre værdien for dx). Men da jeg ikke kan lade det ligge, er her et plot af værdien af pi for forskellige trinstørrelser.

Måske er det ikke det bedste plot – men det er godt nok for nu. Hvis du vil tjekke koden til dette plot, kan du gå her. Men i sidste ende nærmer værdien sig den forventede værdi af pi. Denne metode giver dig måske ikke en million cifre af pi, men måske kan du i det mindste lære noget om integration.