Elektronernes baner i et Heliumatom.

Figur 1. Formen af elektronernes baner for et Heliumatom i para-konfigurationen, som svarer til atomets grundtilstand. Banerne for to elektroner er vist med forskellige farver (første elektron – blå, anden elektron – grøn). De lige linjer, der udgår fra kernen, viser retningerne af orbitalmomenterne og retningerne af de inducerede magnetfelter for hver elektron.

Abstrakt.

Vores analyse af elektronbanen for et heliumatom gentager flere aspekter af vores analyse af elektronbanen for et brintatom, fordi der er tale om de samme typer baner. I betragtning af, at brintatomet kun har én elektron, var vores løsning ikke strengt taget den eneste mulige løsning for elektronbanen.

I tilfældet med Heliumatomet er der kun én løsning for to elektroner, som skaber både dipol- og quadrupolmomenter. Yderligere begrænsninger kan bruges til modelstyring, fordi ortho- og para-konfiguration af elektronbaner har deres specifikke sæt af energiniveauer.

Vi præsenterer her en simpel løsning samt et detaljeret billede af en elektronbaner i Helium-atomer. Både para- og ortho- konfigurationer af elektronbaner er analyseret. Vi forklarer, hvorfor grundtilstanden i et Heliumatom ikke er den laveste energitilstand.

Kvantemekaniske udtryk for Hamiltonians for både Helium og Hydrogen indeholder ikke udtrykket for Maxwell Electrodynamics. Magnetiske felter induceret af roterende elektroner ignoreres simpelthen.

Vi kombinerer elektrodynamik og kvantemekanik for at beregne de nøjagtige parametre for baner.

Pauli-princippet postulerer, at elektronernes spinretninger er op og ned. Dette princip skal postuleres i kvantemekanikken, fordi det er i modstrid med både energibevaringsloven og også elektrostatikken. Vi viser, at de faktiske spinretninger er radiale retninger mod kernenes centrum og væk fra kernenes centrum. Vores model forklarer Pauli-princippet, men behøver ikke et postulat.

Elektronernes orbitale momenter i vores model flugter langs radius af elektronernes baner. De kan have retninger mod og væk fra kernenes centrum. I vores model er elektronernes spins justeret langs de magnetiske felter, der er skabt af elektronernes orbitalbevægelse. Elektronspins opfører sig som et kompas, der retter sig langs det stærkere magnetfelt.

Et Helium-atoms komplicerede energispektrum får en enkel forklaring i form af to typer baner og to sæt energiniveauer for ortho- og para-helium.

Vi bruger kvantemekanikken på samme måde som N. Bohr brugte til sin model af brintatomet, men vi bruger ikke operatører, så vi er ikke bundet af de statistiske egenskaber ved usikkerhedsprincippet.

På samme måde, som vi brugte til brintatomets bane, behøver vi ikke at bruge det kvantemekaniske orbitalpostulat, Pauli-postulat eller andre postulater.

Introduktion & Problemets aktuelle tilstand.

Kvantemekaniske orbitaler angiver, at den maksimale sandsynlighedstæthed for at finde en elektron i et atom er placeret inde i protonen i et brintatom. Elektronorbitalen beregnes som en konvolution af orbitalens form og den eksperimentelt foreslåede form af kugleformede skaller.

For et Helium-atom fungerer denne fremgangsmåde ikke. Derfor er der ud over elektronbanens cirkulære form ingen beregning af den faktiske form af elektronernes bane i et Heliumatom.

Der er derfor ingen beregning af den faktiske form af elektronernes bane i et Heliumatom.

Eksperimenter viser, at i tilfældet med et Heliumatom er forskellen mellem ortho-Helium og para-Helium ikke begrænset til at have modsat spin. Det er forskellige atomare banekonfigurationer med forskellige sæt af energiniveauer. Karakteren af denne forskel er ikke diskuteret.

I projekt 2 vil vi tage fat på disse problemer og diskutere andre spørgsmål.

I den foregående del har vi angivet, at for et hydrogenatom kan den differentielle tilgang give flere typer af løsninger. Tilstedeværelsen af kun én elektron gjorde det ganske vanskeligt at vælge en korrekt løsning for et enkelt dipolmoment. To elektroner i et Heliumatom skaber både et dipol- og et quadrupolmoment samt begrænser parametrene for hver del af banen til den enkelte fjerdedel af en kugle. Kombineret med den ædle opførsel i kemiske reaktioner giver disse betingelser os mulighed for at finde en enkelt løsning.

Elektroners spins retninger.

Først skal vi gøre en bemærkning om spins retninger og om udtrykket for spin-orbitalinteraktion.

• Elektroners individuelle spins i et Heliumatom er lig med en halvdel. Det samlede spin for et Heliumatom i grundtilstanden er lig med nul. Ud fra et matematisk synspunkt er dette en simpel opgave af to vektorer, som kun har én løsning i vektoralgebra. Spinvektorer skal være placeret langs den samme linje og have modsatte retninger. Hvis disse vektorer ikke er placeret langs den samme lige linje, vil deres sum ikke være lig med nul. Disse to vektorer vil give et rotationsmoment. Det betyder, at i et Heliumatoms grundtilstand skal spinvektorerne for begge elektroner være rettet ud langs den linje, der forbinder deres positioner. I singlettilstand er spin-vektorerne modsatrettede. Dette udsagn er strengt korrekt for para-Helium-atomer. For en ortho-heliumkonfiguration er situationen lidt mere kompliceret, og vi vil analysere den nedenfor.

Lad os nedenfor se på retningerne af elektronernes spins.

Figur 2a. Summen af spinvektorer, der er rettet langs den samme linje i modsatte retninger, resulterer i et samlet spin lig med nul i vores model.

Figur 2b. Summen af op- og nedadgående vektorer af elektroners spin er ikke lig med nul. Kombinationen af disse spins resulterer i et nyt rotationsmoment i modellen, som anvender Pauli-princippet.

Elektronspinvektorerne har en magnetisk natur. De opfører sig som et kompas, hvilket betyder, at de arrangerer sig langs et stærkere magnetfelt, der skabes af elektronernes orbitalbevægelse. Dette bringer os til at konkludere, at magnetiske vektorer af orbitale momenter i vores model også bør være rettet mod kernenes centrum.

En elektrons kontinuerlige bevægelse langs dens bane inducerer magnetiske felter. I vores model skabes der fire modsatrettede magnetfelter i længden af en runde af en elektrons bane. Disse felter er lige store i amplitude.

Heliumatom.

For Heliumatomet skal vi bruge den samme model, som vi har brugt for brintatomet. Den eneste forskel er kerneens dobbelte ladning og de to elektroner i kredsløb.

Energien for en elektron i bevægelse kan ud fra den klassiske og kvantemekanik udtrykkes som:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

I denne formel er $m$ – elektronmassen, $v$ – elektronens hastighed, $h$ – er Plancks konstant, $f$ – er frekvensen af en elektronbølge og $n$ er et helt tal.

Sammenligning (1) repræsenterer forskellen mellem kvantemekanikkens “stive rotator” og vores model. Vi betragter hver partikel med sin individuelle bølge i stedet for to eller tre partikler med en enkelt kombineret bølge. I vores model skal bølgerne interferere indbyrdes, men kan ikke blot lægges sammen.

Det er derfor, at formel (1) er skrevet for hver enkelt elektron, og det er det samme for brint- eller heliumatomer.

Længden af fire hemi-kugler skal være lig med:

$L = 4 {\ } \pi {\\ } \pi {\\ } {\ } r = n \cdot \lambda$ (2).

Frekvensen af elektronens orbital rotation kan findes som elektronens hastighed divideret med banens længde:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\ }r}$ (3).

Substitution af frekvensen fra (3) i (1) vil resultere i:

$\frac {m {\ } v^2}{2}} = h {\ } \frac {v {\ } n }{4 {\ } \pi {\ } r}} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Vi bruger den reducerede Planck-konstant $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ i udtryk (4a).

Som et resultat af ligning (4) fik vi udtrykket for elektronbanemomentet:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Udtrykket (4) betyder, at elektronbanemomentet er lig med det hele tal, ganget med den reducerede Planck-konstant. Dette udtryk er det samme som det, vi fik for brintatomet, og det betyder, at vi ikke har brug for orbitalmomentpostulatet for Heliumatomet. Denne konklusion vil være vigtig for andre atomer i det periodiske system med elektronbaner af typen $s$ i deres struktur.

I vores analyse af formen af brintatomets elektronbane kom vi til den konklusion, at der ikke findes nogen numerisk løsning for den type af bane, hvor vektorerne af inducerede magnetfelter er parallelle eller vinkelrette på $x, y, z$ akserne. En sådan banekonfiguration ville være i modstrid med resultatet af ligning (4).

Løsningen for Faraday-ligningen

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}}{\partial t}$ (5)

vi fandt i form af den elliptiske elektronbane, projiceret på den sfæriske overflade.

Figur 3. Elektronernes bane for ortho-konfigurationen af heliumatomet.

Figur 4. Elektronernes kredsløb for Heliumatomets para-konfiguration. Den grønne elektron bevæger sig langs den blå linje. Blå elektron bevæger sig langs den grønne linje. Dette blev gjort for at opnå bedre kontrast. Lige linjer viser retningen af inducerede felter.

I para-konfigurationen udviser banekonfigurationen såvel som elektronernes positioner på ethvert tidspunkt en sfærisk symmetri af punkttypen. Det betyder, at den rette linje, der forbinder elektronernes positioner, altid vil krydse kernecentret.

Proceduren for at finde parametrene for elektronernes bane er den samme som den, vi brugte for brintatomet. Vi skal finde værdierne af tre parametre, som definerer elektronernes elliptiske bane i Heliumatomet, og vi skal udtrykke disse værdier i enheder af elektronbanens radius.

Vi starter med ortho- konfigurationen.

Og selv om værdierne for disse parametre, udtrykt i radiusenheder, svarer til udtrykkene for brintatomet, er de faktiske værdier for Heliumatomet anderledes:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

Heliumionens energi, når der kun er én elektron tilbage på banen, er den samme som blev beregnet i Bohrs model:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Dette resultat er velkendt og behøver ikke yderligere fortolkning.

I tilfældet med et Heliumatom, hvor to elektroner kredser om kernen, starter vi med beregninger af banelængden.

Banelængden er lig med:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Vi har anvendt Ramanujan-formlen for ellipsens længde i vores beregninger.

Disse baner har tre parametre $a, b$ og $r$. I lighed med brintatomet kan værdierne for parametrene $a$ og $b$ udtrykkes i enhederne for banens sfæriske radius $r$ som:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

Funktionen, som repræsenterer elektronens bane samt den afledte af denne funktion, er kontinuert og har ingen singulariteter.

For to elektroner på kuglens overflade er der ligevægt mellem Coulombkraft og centripetalkraft:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\ }\ }\epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

Elektronens hastighed kan ud fra (10) udtrykkes som:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } $ (11).

Formel (8) garanterer, at udtrykket for banemomentet er korrekt:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

Kombination af (11) og (12) giver os radius af den sfæriske overflade af elektronens bane:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

Energien for to elektroner på Helium-banen kan beregnes som:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}{2}$ (17).

Den anden potens af elektronens hastighed kan ud fra (11) udtrykkes som:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Vi har brugt udtryk (16) for elektronbanens radius.

Fra ligning (17) vil værdien af elektrontilstandenes energi være lig med:

$E = \frac {m { {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Denne værdi er energien for den laveste tilstand af heliumatomet i ortho-konfigurationen. Denne energimængde er nødvendig for, at en elektron kan nå ioniseringsniveauet. Hvis vi markerer ioniseringsenergien i vakuumet som nul, skal denne energi være negativ.

Formel (27) beskriver spektret af energiniveauerne for Heliumatomet i en ortho-konfiguration. Andre energiniveauer af ortho- Helium for $n > 1$, såvel som overgange mellem dem bør kunne observeres i Helium-spektre, forudsat excitationsmetode, der tager hensyn til spinforbudte overgange mellem singlet para- Helium grundtilstand og triplet ortho- Helium exciterede tilstande. Under normale forhold med en optisk excitationskilde er spektret af ortho- Helium-linjer praktisk talt usynligt.

Denne ortho- tilstand af Helium-atomet kan ikke være grundtilstanden, fordi både orbitalmomentet og atomets spin i denne tilstand ikke er lig med nul. Det betyder, at Helium-atomet i denne tilstand ville være meget reaktivt, og dets opførsel ville svare til et brintatoms opførsel.

Grundtilstanden for den monoatomare inertialgas Helium tilhører Heliums para-tilstand.

Para-Helium.

Figur 5 nedenfor viser para-konfigurationen af en elektronbane for et Helium-atom. Den ene elektrons baner er vist med blå farve og den anden med grøn farve. Disse baner har et symmetripunkt i kernenes centrum. To elektroner befinder sig til enhver tid på de modsatte sider af diameteren af elektronernes baner. Retningerne af banemomenterne og retningerne af de inducerede magnetfelter er angivet med fire røde linjer for den ene elektron og fire grønne linjer for den anden elektron. Vinklen mellem to linjer af samme farve er ca. 109,47 grader. Retningerne af to impulsmomenter og to magnetfelter for hver elektron er mod kuglens centrum, og to andre vektorer har retninger væk fra kuglens centrum.

Figur 5. Elektronernes baner for et heliumatom i para-konfiguration.

Figur 5 viser elektronernes baner i para-konfigurationen af et Heliumatom. Grønne og blå elektroner er placeret på modsatte sider af diameteren af deres bane. Deres baner er symmetriske i forhold til protonens position. Retningerne af det inducerede magnetfelt er vist som de grønne og blå linjer.

For para-konfigurationen af en elektronbanes samlede spin, orbitalmomenter samt integralerne af det elektriske og det inducerede magnetfelt er lig med nul.

Som følge heraf indtager et Heliumatom i para-konfigurationen af banen en stabil energitilstand, og der er ikke behov for nogen ekstern interaktion for at kompensere for de ikke-balancerede orbitalmomenter og spinfelter. Det er grunden til, at Helium-atomer i para-konfigurationen er ædle, inertiale & monoatomare gasser.

For at finde værdien af energien i para-konfigurationen skal vi gange værdien af en elektrons energi i en ortho-konfiguration med den steriske vektorkoefficient (se næste afsnit):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,909 $ (20).

Energien i grundtilstanden for et Heliumatom er lig med energien i den laveste tilstand i para-konfigurationen:

$E_0 = 27,2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Dette resultat stemmer overens med den eksperimentelle værdi for ioniseringsenergien for den første elektron i et Heliumatom, som er lig med $E_{ionisering} = 24,6 eV$. Forskellen mellem energierne på ca. $\Delta E = 0,1 eV$ bør tilskrives spin-spin-interaktion.

Selv om et Helium-atom i grundtilstanden eksisterer det kun i para-konfiguration. De exciterede tilstande i begge konfigurationer kan observeres i spektraldata, selv om overgange mellem disse to tilstande ikke kan observeres i tilfælde af optisk excitation, fordi de er spinforbudte. Elektron excitation ville løse dette problem, og det ville være muligt at observere niveauer for begge tilstande.

Beregninger af sterisk vektorkoefficient for para- Helium.

I vores beregninger af elektronens orbitalmoment brugte vi princippet om uafhængighed af ortogonale komponenter af en elektrons bevægelse. Uden en særlig erklæring antog vi, at komponenter, som er ortogonale til orbitalkomponenten, ikke giver noget input til den samlede energi af elektroner i et Heliumatom. Vi beregnede energien af to elektronsystemer, som om den samlede energi kombineres som en skalarfunktion af banens radius og negligerede vektorkarakteren af vinkelkomponenterne i en elektrons bane.

Fra et klassisk mekanisk synspunkt ser en sådan fremgangsmåde berettiget ud, fordi to elektroner i et Heliumatom er placeret i de modsatte ender af diameteren af deres baner. Det samme argument kunne siges om kvantemekanikken, der fremstiller elektronerne som en distribueret sky, hvor positionerne for hver enkelt elektron ikke kan defineres eller bestemmes.

Men vores beregninger er baseret på elektrodynamikken.

Energien af en elektron i et elektrisk felt kan beregnes som feltpotentialet multipliceret med elektronens ladning:

$Energi = E \cdot e$ (22).

Dette udtryk beskriver den potentielle energi. Det bliver til elektronens energi, når elektronen passerer afstanden langs feltet med et sådant potentiale.

I henhold til Faraday-formlen er det magnetiske felt, der induceres af bevægelige ladninger, lig med:

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (23).

Denne Faraday-formel giver os mulighed for at fremstille reglerne for addition af vektorudtryk, som er proportionale med energierne for hver enkelt elektron. I stedet for et tredimensionelt integral af et elektrisk felt skal vi finde summen af vektorerne af de inducerede magnetfelter for den første elektron og vektoren af det inducerede magnetfelt for den anden elektron, fordi disse værdier står i direkte forhold til hinanden. Derefter skal vi bruge den steriske koefficient, som vi finder for inducerede magnetiske vektorer, for at kombinere elektronernes energi.

Værdien af energien for hver elektron i ligning (24) er lig med halvdelen af den samlede energi, som vi fandt for ortho-konfigurationen af Heliumatomet:

$$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

Energien i to elektronsystemer vil være lig med energien af den første elektron plus energien af den anden elektron, multipliceret med den steriske vektorkoefficient:

$Energi = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Inducerede magnetfelter for hver elektron i et Heliumatom har terningens geometri med vinkler på 109,47 grader mellem de inducerede magnetfelters retninger. Det betyder, at hver vektor af det inducerede magnetfelt kan repræsenteres ved en linje fra kubens centrum til et ikke-tilstødende hjørne af kuben:

Figur 6. illustrerer tilfældet for to elektroner med deres baner, der har punktsymmetri i kubens centrum.

Den røde kugle repræsenterer Heliumkernen. De røde linjer viser retningen af det inducerede magnetfelt for den ene elektron. De grønne linjer viser retningen af de inducerede magnetfelter for den anden elektron. Ud af de fire vektorer for hver elektron har to vektorer retning mod kernen, og de to andre vektorer har retning mod terningens hjørne.

Den steriske koefficient kan beregnes ud fra figur 6. Hvis vi antager, at længden af kubens side er 2a enhed, vil længden af diagonalerne AO og BO være lig med:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

Den halve sum af disse to momenter eller linjen OC har længden:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Det betyder, at for at tilføje vektorimpulsen for en anden elektron til vektoren for den første elektron er det nødvendigt at multiplicere vektoren for den anden elektron med den steriske koefficient:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (27).

*************************