Es ist wieder einmal Pi-Tag (14. März – wie die ersten Ziffern von Pi: 3 und 14). Bevor ich auf die diesjährige Feier von Pi eingehe, möchte ich einige der wichtigsten Dinge über diese fantastische Zahl zusammenfassen.

• Außerhalb der USA sollte der Pi-Tag wahrscheinlich am 22. Juli (22/7) sein – dieser Bruch ist eine überraschend gute Schätzung von Pi.
• Den Wert von Pi kann man mit einer Masse und einer Feder ermitteln.
• Der Wert von pi hängt mit dem lokalen Gravitationsfeld zusammen.
• Den Wert von pi kann man mit Zufallszahlen ermitteln (das ist mein Favorit).
• Und schließlich gibt es eine Beziehung zwischen pi, e, 1, 0 und i (der imaginären Zahl).

Aber heute werde ich pi mit einem numerischen Integral berechnen. Was bedeutet das überhaupt? Ich beginne mit einem Beispiel: Wie findet man die Fläche eines Halbkreises?

Die Fläche eines Kreises ist pi mal dem Radius zum Quadrat. Dies ist die Hälfte eines Kreises mit dem Radius 1 (ohne Einheiten), so dass er einen Flächeninhalt von pi/2 hätte. Wenn ich den Flächeninhalt mit einer anderen Methode ermittle, kann ich diesen Flächeninhalt einfach mit 2 multiplizieren und erhalte pi. Das ist der Plan.

Aber wie findet man den Flächeninhalt einer Form – oder irgendeiner Form, was das betrifft? Hier kommt die Infinitesimalrechnung ins Spiel. Ich kann den Flächeninhalt des Halbkreises ermitteln, indem ich die Flächeninhalte einer Reihe von Rechtecken zusammenzähle. Es stellt sich heraus, dass es ziemlich einfach ist, den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen. Ich zeichne einfach ein paar Rechtecke in den Halbkreis, damit du siehst, was ich meine.

Die Fläche jedes dieser dünnen Rechtecke lässt sich mit der Formel „Grundfläche mal Höhe“ ermitteln. Ein Rechteck hat eine Höhe von „y“ und eine Grundfläche von „dx“, wobei dx eine beliebige Länge entlang der x-Achse ist. Ich kann den tatsächlichen Wert der Höhe herausfinden, weil die Spitze des Rechtecks auf den Kreis trifft, wo diese Höhe aus der Gleichung eines Kreises ermittelt werden kann.

Nun muss ich nur noch all diese Rechtecke zusammenzählen – bumm, das ist die Fläche eines halben Kreises. Ich kann dies als Summe von Flächen wie folgt schreiben:

Aber halt! Ist das nicht eine schlechte Annäherung an den tatsächlichen Flächeninhalt eines Kreises (Halbkreises)? Ja, das stimmt – aber es hängt wirklich von der Breite dieser winzigen Flächenrechtecke ab. Wenn ich nämlich den Grenzwert nehme, wenn die Breite (dx) gegen Null geht, erhalte ich die genaue Fläche. Dies ist eigentlich die Definition des Integrals in der Infinitesimalrechnung – aber das hebe ich mir für einen anderen Tag auf. Stattdessen werden wir eine numerische Berechnung durchführen, indem wir einfach die Fläche einer Reihe von Rechtecken addieren. Sie könnten das natürlich auch von Hand machen, aber das könnte langweilig werden. Stattdessen wollen wir das mit einem Computerprogramm machen. Jep.

Hier ist eine numerische Berechnung in Python. Du kannst den Code ausführen, indem du auf die Schaltfläche „Play“ drückst, aber ich werde unten einige Kommentare zum Code geben.

Du kannst den Code ändern, wenn es dich glücklich macht – hier sind ein paar Dinge zu beachten.

• Dies ist eine numerische Berechnung. Das bedeutet, dass das Programm nur mit Zahlen arbeitet. Technisch gesehen sollte die Fläche die Einheit m2 oder so haben, aber nicht hier. Nur Zahlen.
• Für Schleifen in Python gilt, dass alles, was mit einem Tabulator versehen ist, Teil der Schleife ist. Sobald du einen Einzug machst, ist es nicht mehr in einer Schleife.
• Zeile 18 sollte seltsam aussehen, weil sie es ist. Wenn Sie dies als eine algebraische Gleichung betrachten, sollte das A sich aufheben, da es auf beiden Seiten der Gleichung steht – aber dies ist keine Gleichung. In Python (und den meisten anderen Sprachen) bedeutet das „=“ „gleichmachen mit“. Diese Zeile nimmt den alten Wert von A, fügt den neuen hinzu und macht daraus den neuen Wert von A.

Diese erste Berechnung hat einen dx von 0,1. Das bedeutet, dass es nur 20 Rechtecke gibt, die man addieren muss, um die Fläche des Halbkreises zu erhalten. Auf diese Weise erhalte ich einen ungefähren Pi-Wert von 3,10452 – was natürlich kein exaktes Pi ist. Natürlich kann ich eine bessere Schätzung vornehmen, indem ich Rechtecke mit geringerer Breite herstelle. Sie sollten dies versuchen, indem Sie den obigen Code ändern (Tipp: ändern Sie den Wert für dx). Da ich es aber nicht lassen kann, hier ein Diagramm des Wertes von pi für verschiedene Schrittgrößen.

Vielleicht ist das nicht das beste Diagramm, aber für den Moment ist es gut genug. Wenn Sie sich den Code für dieses Diagramm ansehen möchten, hier ist er. Aber am Ende nähert sich der Wert dem erwarteten Wert von Pi. Mit dieser Methode erhältst du vielleicht nicht eine Million Stellen von Pi, aber vielleicht lernst du wenigstens etwas über Integration.