Integration und Differenzierung sind zwei sehr wichtige Begriffe in der Infinitesimalrechnung. Sie werden verwendet, um die Veränderung zu untersuchen. Die Infinitesimalrechnung hat eine Vielzahl von Anwendungen in vielen Bereichen der Wissenschaft und auch der Wirtschaft. Auch im Finanzwesen und bei der Börsenanalyse kann man die Infinitesimalrechnung finden. In diesem Artikel werden wir einige Differenzierungs- und Integrationsformeln mit Beispielen finden. Lernen wir das interessante Konzept kennen!
Differenzierungs- und Integrationsformel
Was ist Differenzierung?
Die Differenzierung ist das algebraische Verfahren zur Berechnung der Ableitungen. Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung oder der Gradient des gegebenen Graphen an einem beliebigen Punkt. Die Steigung einer Kurve in einem beliebigen Punkt ist der Wert der Tangente an diese Kurve in dem betreffenden Punkt. Bei nicht linearen Kurven ist die Steigung der Kurve an verschiedenen Punkten entlang der Achse unterschiedlich. Daher ist es schwierig, die Steigung in solchen Fällen zu berechnen.
Sie ist auch definiert als die Änderung einer Eigenschaft in Bezug auf eine Einheitsänderung einer anderen Eigenschaft.
\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)
ist ein Maß für die Änderungsrate von f(x) in Bezug auf x.
Und der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn \(\Delta\) x gegen Null tendiert,
d.h. \(\lim_{\Delta x\zu 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)
wird die erste Ableitung der Funktion f(x) genannt.
Was ist Integration?
Integration ist das Verfahren zur Berechnung bestimmter oder unbestimmter Integrale. Für eine Funktion f(x) und ein geschlossenes Intervall auf der reellen Linie,
ist das definite Integral,
\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)
die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion, der horizontalen Achse und den beiden vertikalen Linien. Diese beiden Linien befinden sich an den Endpunkten eines Intervalls.
Wenn kein bestimmtes Intervall angegeben ist, spricht man von einem unbestimmten Integral.
Wir berechnen das bestimmte Integral, indem wir die Anti-Ableitungen verwenden. Daher ist die Integration der umgekehrte Prozess der Differenzierung.
Erinnern Sie sich, dass die Differenzierung die Steigung einer Kurve berechnet, während die Integration die Fläche unter der Kurve berechnet, andererseits ist die Integration der umgekehrte Prozess davon.
Einige grundlegende Differenzierungsformeln
(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c ist eine Konstante.
(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1
(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)
(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)
(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u das ist die Produktregel
Einige grundlegende Integrationsformel
(1) \(\int 1\; dx = x+c \)
(2) \(\int m \;dx = mx + c \)
(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)
(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)
(5) \(\int cos x \; dx = sin x + c \)
(6) \(\int sec^2 x \;dx = tan x + c \)
(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\; x + c \)
(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)
(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)
Gelöste Beispiele für Sie
Q.1: Wie lautet \(\frac{d}{dx} x^5\)?
Lösung: Wir wenden die Formel
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Hier n=5, also
Die Lösung ist \(5x^4 \)