Definition: Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur, die aus drei Liniensegmenten besteht.

Ein Dreieck besteht aus drei Liniensegmenten und drei Winkeln. In der obigen Abbildung sind AB, BC, CA die drei Liniensegmente und ∠A, ∠B, ∠C die drei Winkel.

Es gibt drei Arten von Dreiecken, die auf Seiten und drei, die auf Winkeln basieren.

Typen von Dreiecken, die auf Seiten basieren

Equilaterales Dreieck: Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind, ist ein gleichseitiges Dreieck.

Da alle Seiten gleich sind, sind auch alle Winkel gleich.

gleichschenkliges Dreieck: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Die beiden Winkel, die den gleichen Seiten gegenüberliegen, sind gleich.

Skalendreieck: Ein Dreieck, das drei unterschiedlich lange Seiten hat, nennt man ein skalenförmiges Dreieck.

Typen von Dreiecken, die auf Winkeln beruhen

Schnittwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, bei dem alle Winkel spitz sind, heißt spitzwinkliges Dreieck oder akutes Dreieck.

Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, bei dem ein Winkel stumpf ist, heißt stumpfwinkliges Dreieck oder stumpfes Dreieck.

Rechtwinkliges Dreieck: Ein Dreieck, dessen einer Winkel ein rechter Winkel ist, ist ein rechtwinkliges Dreieck oder rechtwinkliges Dreieck.

In der obigen Abbildung wird die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite BC als Hypotenuse bezeichnet.

Für ein rechtwinkliges Dreieck ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Dies nennt man den Satz des Pythagoras.

Im obigen Dreieck ist 52 = 42 + 32. Nur ein Dreieck, das diese Bedingung erfüllt, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Satz des Pythagoras hilft also dabei, herauszufinden, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Arten von Dreiecken

Es gibt verschiedene Arten von rechtwinkligen Dreiecken. Ab jetzt konzentrieren wir uns nur auf ein spezielles Paar von rechtwinkligen Dreiecken.

1. 45-45-90-Dreieck
2. 30-60-90-Dreieck

45-45-90-Dreieck:

Ein 45-45-90-Dreieck ist, wie der Name schon sagt, ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die beiden anderen Winkel jeweils 45° betragen.

Es handelt sich um ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

In ∆ DEF ist DE = DF und ∠D = 90°.

Die Seiten in einem 45-45-90-Dreieck stehen im Verhältnis 1 : 1 : √2.
30-60-90-Dreieck:

Ein 30-60-90-Dreieck ist, wie der Name schon sagt, ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die beiden anderen Winkel 30° und 60° sind.

Es handelt sich um ein rechtwinkliges Skalenendreieck, da keine der Seiten oder Winkel gleich sind.

Die Seiten im Dreieck 30-60-90 stehen im Verhältnis 1 : √3 : 2

Wie jedes andere rechtwinklige Dreieck erfüllen diese beiden Dreiecke den Satz des Pythagoras.

Grundlegende Eigenschaften von Dreiecken

• Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt 180°. Das nennt man die Winkelsummeneigenschaft.
• Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks ist größer als die Länge der dritten Seite. Ebenso ist die Differenz der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks kleiner als die Länge der dritten Seite.
• Die dem größten Winkel gegenüberliegende Seite ist die längste Seite des Dreiecks und die dem kleinsten Winkel gegenüberliegende Seite ist die kürzeste Seite des Dreiecks.


In der obigen Abbildung ist ∠B der größte Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite (Hypotenuse) ist die größte Seite des Dreiecks.



In der obigen Abbildung ist ∠A der größte Winkel und die ihm gegenüberliegende Seite BC ist die größte Seite des Dreiecks.

• Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner gegenüberliegenden Innenwinkel. Das nennt man die Außenwinkeleigenschaft eines Dreiecks.


Hier ist ∠ACD der Außenwinkel zum ∆ABC.

Nach der Außenwinkeleigenschaft ist ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Ähnlichkeit und Kongruenz in Dreiecken

Figuren mit gleicher Größe und Form sind kongruente Figuren. Wenn zwei Figuren kongruent sind, bleiben sie kongruent, auch wenn sie verschoben oder gedreht werden. Die Formen bleiben auch kongruent, wenn wir sie spiegeln, indem wir Spiegelbilder erzeugen. Zwei geometrische Formen sind kongruent, wenn sie sich genau überdecken.

Figuren mit gleicher Form, aber mit proportionalen Größen sind ähnliche Figuren. Sie bleiben auch dann ähnlich, wenn sie verschoben oder gedreht werden.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn die entsprechenden Winkel zweier Dreiecke kongruent und die Längen der entsprechenden Seiten proportional sind.

Man schreibt ∆ ABC ∼ ∆ XYZ und sagt, dass ∆ ABC ‚ähnlich ist‘ ∆ XYZ.

Hier ist ∠A = ∠X, ∠B =∠Y und ∠C = ∠Z UND

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, lauten wie folgt:
(1) Side-Side-Side (SSS) Kriterium für Ähnlichkeit:

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu den entsprechenden drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sagt man, dass die Dreiecke ähnlich sind.

Hier gilt ∆ PQR ∼ ∆ DEF als

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Side-Angle-Side (SAS) Kriterium für Ähnlichkeit:

Wenn die entsprechenden zwei Seiten der beiden Dreiecke proportional sind und ein eingeschlossener Winkel gleich dem entsprechenden eingeschlossenen Winkel eines anderen Dreiecks ist, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Hier gilt ∆ LMN ∼ ∆ QRS, wobei

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Winkel-Winkel-Winkel (AAA) Kriterium für Ähnlichkeit:

Wenn die drei entsprechenden Winkel der beiden Dreiecke gleich sind, dann sind die beiden Dreiecke ähnlich.

Hier ∆ TUV ∼ ∆ PQR als

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q und ∠V = ∠R

Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke nennt man kongruent, wenn alle Seiten des einen Dreiecks gleich den entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks sind und die entsprechenden Winkel gleich sind.

Man schreibt ∆ ABC ≅ ∆ XYZ und sagt, dass ∆ ABC ‚kongruent zu‘ ∆ XYZ ist.

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass zwei Dreiecke kongruent sind, sind folgende:
(1) Side-Side-Side (SSS) Kriterium für Kongruenz:

Wenn drei Seiten eines Dreiecks gleich den entsprechenden drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sagt man, dass die Dreiecke kongruent sind.

Hier ∆ ABC ≅ ∆ XYZ als AB = XY, BC = YZ und AC = XZ.
(2) Seiten-Winkel-Seiten-Kriterium (SAS) für Kongruenz:

Wenn zwei Seiten und der zwischen den beiden Seiten eines Dreiecks eingeschlossene Winkel gleich den entsprechenden zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Hier ist ∆ ABC ≅ ∆ XYZ als AB = XY, ∠A = ∠X und AC = XZ.
(3) Winkel-Seiten-Winkel (ASA) Kriterium für Kongruenz: Wenn zwei Winkel und die eingeschlossene Seite eines Dreiecks gleich den entsprechenden zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

In der obigen Abbildung ist ∆ ABD ≅ ∆ CBD, wobei

∠ABD = ∠CBD, AB = CB und ∠ADB = ∠CDB.
(4) Rechtwinkliges Hypotenuskriterium der Kongruenz: Wenn die Hypotenuse und eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der entsprechenden Hypotenuse und Seite eines anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Hier ist ∠B = ∠Y = 90° und AB = XY, AC = XZ.

Fläche eines Dreiecks:

Die Fläche eines Dreiecks wird durch die Formel

Fläche eines Dreiecks = (1/2) *Basis * Höhe

Um die Fläche eines Dreiecks zu finden, ziehen wir eine senkrechte Linie von der Basis zur gegenüberliegenden Spitze, die die Höhe des Dreiecks ergibt.

So ist der Flächeninhalt des ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 Quadrateinheiten.

Für ein rechtwinkliges Dreieck ist es einfach, den Flächeninhalt zu finden, da es eine Seite gibt, die senkrecht zur Basis steht, also können wir sie als Höhe betrachten.

Die Höhe des ∆ XYZ ist XY und sein Flächeninhalt ist (1/2) * XZ * XY Quadrateinheiten.

Wie finden wir nun den Flächeninhalt eines stumpfen Dreiecks LMN ?

Für ein stumpfwinkliges Dreieck verlängern wir die Basis und ziehen eine Linie senkrecht vom Scheitelpunkt zur verlängerten Basis, die zur Höhe des Dreiecks wird.

Daher ist der Flächeninhalt des ∆ LMN = (1/2) * LM * NK sq. Einheiten.

Löse die folgenden

1)

∆ ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck und CD ⊥ AB (⊥ steht für ’senkrecht‘).

Bestimme i) ∠ACD und ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Antwort: C

Erläuterung:

Betrachte ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (da die Summe der Winkel in einem Dreieck 180° beträgt)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (wiederum Summe aller Winkel in einem Dreieck)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Bestimme, ob die folgenden Dreiecke rechtwinklig sind

A. Beide sind rechtwinklige Dreiecke
B. ∆ ABC ist kein rechtwinkliges Dreieck, ∆ DEF ist ein rechtwinkliges Dreieck
C. ∆ ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck, ∆ DEF ist kein rechtwinkliges Dreieck
D. Beide sind keine rechtwinkligen Dreiecke

Antwort: B

Erläuterung:

Das Tripel, das den Satz des Pythagoras erfüllt, ist die Menge der Seiten, die ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

3)

Wenn ∆ ABC = 3 (∆ DEF), welche der folgenden Aussagen ist richtig?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° UND DE = DF = 2 und EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° UND DE = DF = 2 und EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° UND DE = DF = 2 und EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° UND DE = DF = 3 und EF = 3

Antwort: C

Erläuterung:

AB und AC sind gleich → gegenüberliegende Winkel sind gleich.

Daher ist ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC und ∆ DEF sind gleich.