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- Was ist eine Kombination in der Mathematik?
- Was ist die Kombinationsformel?
- Wie verwendet man die Kombinationsformel, um Wortprobleme zu lösen?
- Wie wertet man Kombinationen aus und wie löst man Zählprobleme mit Kombinationen?
- Wie löst man Kombinationsprobleme, bei denen man Gruppen anhand von bedingten Kriterien auswählen muss?
- Wie löst man Wortprobleme mit Permutationen und Kombinationen?
Was ist eine Kombination in der Mathematik?
Eine Anordnung von Objekten, bei der die Reihenfolge nicht wichtig ist, nennt man eine Kombination. Das ist etwas anderes als eine Permutation, bei der die Reihenfolge wichtig ist. Nehmen wir zum Beispiel an, wir ordnen die Buchstaben A, B und C an. Bei einer Permutation sind die Anordnungen ABC und ACB unterschiedlich. Aber bei einer Kombination sind die Anordnungen ABC und ACB gleich, weil die Reihenfolge nicht wichtig ist.
Was ist die Kombinationsformel?
Die Anzahl der Kombinationen von n Dingen, die r zu einem Zeitpunkt genommen werden, wird als C(n, r) geschrieben.
Das folgende Diagramm zeigt die Formel für die Kombination. Scrolle auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Lösungen zur Verwendung der Kombinationsformel zu finden.
Wenn du mit der n! (n-Faktorialschreibweise) nicht vertraut bist, dann schau dir die Faktorielle Lektion
Wie verwendet man die Kombinationsformel, um Wortprobleme zu lösen?
Beispiel:
Auf wie viele Arten kann ein Trainer drei Schwimmer aus fünf Schwimmern auswählen?
Lösung:
Es gibt 5 Schwimmer, von denen jeweils 3 genommen werden müssen.
Mit der Formel:
Der Trainer kann die Schwimmer auf 10 Arten auswählen.
Beispiel:
Sechs Freunde wollen so viele Schachpartien spielen, dass jeder gegen jeden spielt. Wie viele Partien müssen sie spielen?
Lösung:
Es gibt 6 Spieler, von denen jeweils 2 genommen werden müssen.
Nach der Formel:
Sie müssen 15 Partien spielen.
Beispiel:
Bei einer Lotterie stehen auf jedem Los 5 einstellige Zahlen von 0-9.
a) Sie gewinnen, wenn auf Ihrem Schein die Ziffern in beliebiger Reihenfolge stehen. Wie hoch sind Ihre Gewinnchancen?
b) Sie würden nur gewinnen, wenn Ihr Schein die Ziffern in der erforderlichen Reihenfolge enthält. Wie hoch sind deine Gewinnchancen?
Lösung:
Es gibt 10 Ziffern, von denen jeweils 5 zu nehmen sind.
a) Mit der Formel:
Die Gewinnchancen sind 1 zu 252.
b) Da die Reihenfolge wichtig ist, sollten wir die Permutation statt der Kombination verwenden.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240
Die Gewinnchancen sind 1 aus 30240.
Wie wertet man Kombinationen aus und wie löst man Zählprobleme mit Kombinationen?
Eine Kombination ist eine Gruppierung oder Teilmenge von Elementen. Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle.
Wie viele Dreiergruppen kann man aus einer Gruppe von 4 Schülern bilden?
Dies ist eine Kombination und kann als C(4,3) oder 4C3 oder \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right)\) geschrieben werden.
Beispiele:
- Die Fußballmannschaft hat 20 Spieler. Es sind immer 11 Spieler auf dem Feld. Wie viele verschiedene Gruppen von Spielern können gleichzeitig auf dem Feld sein?
- Eine Studentin braucht noch 8 Kurse, um ihren Abschluss zu machen. Wenn sie die Voraussetzungen für alle Kurse erfüllt, auf wie viele Arten kann sie im nächsten Semester 4 Kurse belegen?
- In einem kleinen Büro arbeiten 4 Männer und 5 Frauen. Der Kunde möchte, dass eine Gruppe von 2 Männern und 2 Frauen eine Betriebsbesichtigung durchführt. Wie viele verschiedene Gruppen können aus dem Büro gebildet werden?
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Wie löst man Kombinationsprobleme, bei denen man Gruppen anhand von bedingten Kriterien auswählen muss?
Beispiel:Ein Eimer enthält folgende Murmeln: 4 rote, 3 blaue, 4 grüne und 3 gelbe, also insgesamt 14 Murmeln. Jede Murmel ist mit einer Nummer beschriftet, damit man sie unterscheiden kann.
- Wie viele Sätze/Gruppen von 4 Murmeln sind möglich?
- Wie viele Sätze/Gruppen von 4 gibt es, bei denen jede eine andere Farbe hat?
- Wie viele Sätze von 4 gibt es, bei denen mindestens 2 rot sind?
- Wie viele 4er-Gruppen gibt es, in denen keine rot, aber mindestens eine grün ist?
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Wie löst man Wortprobleme mit Permutationen und Kombinationen?
Beispiele:
- Ein Museum hat 7 Gemälde von Picasso und möchte 3 davon an einer Wand anordnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Wortes LOLLIPOP anzuordnen?
- Ein Pokerspieler erhält 5 Karten. Wie viele verschiedene Blätter könnte der Spieler erhalten haben?
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