Kreise

Lernziel(e)

– Eigenschaften von Kreisen erkennen.

– Den Umfang eines Kreises bestimmen.

– Den Flächeninhalt eines Kreises bestimmen.

– Den Flächeninhalt und den Umfang von zusammengesetzten geometrischen Figuren bestimmen.

Kreise sind eine häufige Form. Man sieht sie überall – die Räder eines Autos, Frisbees, die durch die Luft fliegen, Compact Discs, die Daten übertragen. All das sind Kreise.

Ein Kreis ist eine zweidimensionale Figur, genau wie Polygone und Vierecke. Allerdings werden Kreise anders gemessen als diese anderen Formen – man muss sogar einige andere Begriffe verwenden, um sie zu beschreiben. Werfen wir einen Blick auf diese interessante Form.

Ein Kreis stellt eine Reihe von Punkten dar, die alle den gleichen Abstand zu einem festen Mittelpunkt haben. Dieser feste Punkt wird als Mittelpunkt bezeichnet. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis wird Radius genannt.

Wenn zwei Radien (Plural von Radius) zu einem Liniensegment durch den Kreis zusammengefügt werden, erhält man einen Durchmesser. Der Durchmesser eines Kreises geht durch den Mittelpunkt des Kreises und hat seine Endpunkte auf dem Kreis selbst.

Der Durchmesser eines beliebigen Kreises ist das Zweifache der Länge des Radius dieses Kreises. Er kann durch den Ausdruck 2r dargestellt werden, oder „das Zweifache des Radius“. Wenn du also den Radius eines Kreises kennst, kannst du ihn mit 2 multiplizieren, um den Durchmesser zu finden; das bedeutet auch, dass du, wenn du den Durchmesser eines Kreises kennst, durch 2 dividieren kannst, um den Radius zu finden.

Den Abstand um einen Kreis nennt man den Umfang. (Zur Erinnerung: Der Abstand um ein Polygon ist der Umfang.)

Eine interessante Eigenschaft von Kreisen ist, dass das Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser für alle Kreise gleich ist. Unabhängig von der Größe des Kreises ist das Verhältnis von Umfang und Durchmesser dasselbe.

Nachfolgend sind einige tatsächliche Messungen verschiedener Gegenstände angegeben. Die Messungen sind auf den nächsten Millimeter oder Viertelzoll genau (je nach der verwendeten Maßeinheit). Schauen Sie sich das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser für jeden Gegenstand an – obwohl die Gegenstände unterschiedlich sind, ist das Verhältnis für jeden Gegenstand ungefähr gleich.

Der Umfang und der Durchmesser sind ungefähre Maße, da es keine genaue Möglichkeit gibt, diese Maße exakt zu messen. Könnte man sie jedoch genauer messen, würde man feststellen, dass sich das Verhältnis für jeden der angegebenen Punkte auf 3,14 zubewegt. Der mathematische Name für das Verhältnis ist pi und wird durch den griechischen Buchstaben dargestellt.

ist eine nicht abschließende, sich nicht wiederholende Dezimalzahl, so dass es unmöglich ist, sie vollständig auszuschreiben. Die ersten 10 Ziffern von sind 3,141592653; sie werden oft auf 3,14 gerundet oder als Bruch geschätzt. Beachte, dass sowohl 3,14 als auch Näherungswerte von sind und in Berechnungen verwendet werden, bei denen es nicht wichtig ist, genau zu sein.

Da du weißt, dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (oder ) für alle Kreise gleich ist, kannst du diese Zahl verwenden, um den Umfang eines Kreises zu bestimmen, wenn du seinen Durchmesser kennst.

= , also C = d

Auch, da d = 2r, dann C = d = (2r) = 2r.

Umfang eines Kreises

Um den Umfang (C) eines Kreises zu ermitteln, verwendet man eine der folgenden Formeln:

Wenn man den Durchmesser (d) eines Kreises kennt:

Wenn du den Radius (r) eines Kreises kennst:

Ein Kreis hat einen Radius von 8 Zoll. Wie groß ist sein Umfang, aufgerundet auf den nächsten Zoll?

A) 25 Zoll

B) 50 Zoll

C) 64 Zoll2

D) 201 Zoll

ist eine wichtige Zahl in der Geometrie. Du hast sie schon benutzt, um den Umfang eines Kreises zu berechnen. Du verwendest auch, wenn du den Flächeninhalt eines Kreises berechnest.

Flächeninhalt eines Kreises

Um den Flächeninhalt (A) eines Kreises zu bestimmen, verwendest du die Formel:

Ein Knopf hat einen Durchmesser von 20 Millimetern. Wie groß ist die Fläche des Knopfes? Verwenden Sie 3,14 als Näherungswert .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Nachdem du nun weißt, wie man den Umfang und die Fläche eines Kreises berechnet, kannst du dieses Wissen nutzen, um den Umfang und die Fläche von zusammengesetzten Figuren zu bestimmen. Der Trick, um diese Art von Problemen zu lösen, besteht darin, Formen (und Teile von Formen) innerhalb der zusammengesetzten Figur zu identifizieren, ihre einzelnen Dimensionen zu berechnen und sie dann zu addieren.

Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Bild. Ist es möglich, den Umfang zu bestimmen?

Der erste Schritt besteht darin, einfachere Figuren innerhalb dieser zusammengesetzten Figur zu identifizieren. Du kannst sie in ein Rechteck und einen Halbkreis zerlegen, wie unten gezeigt.

Du weißt, wie man den Umfang eines Rechtecks findet, und du weißt, wie man den Umfang eines Kreises findet. Hier ist der Umfang der drei festen Seiten des Rechtecks 8 + 20 + 20 = 48 Fuß. (Beachte, dass nur drei Seiten des Rechtecks in den Umfang der zusammengesetzten Figur eingehen, weil die andere Seite nicht an einer Kante liegt; sie wird vom Halbkreis bedeckt!)

Um den Umfang des Halbkreises zu finden, benutze die Formel mit einem Durchmesser von 8 Fuß und nimm dann die Hälfte des Ergebnisses. Der Umfang des Halbkreises ist oder ungefähr 12,56 Fuß, also ist der Gesamtumfang ungefähr 60,56 Fuß.

Wie groß ist die Fläche (auf ein Hundertstel genau) der unten abgebildeten Figur? (Beide gerundeten Bereiche sind Halbkreise.)

A) 16,56 in2

B) 7,14 in2

C) 4 in2

D) 3.14 in2

Kreise sind eine wichtige geometrische Form. Der Abstand um einen Kreis wird als Umfang bezeichnet, und der Innenraum eines Kreises wird als Fläche bezeichnet. Um den Umfang und die Fläche eines Kreises zu berechnen, benötigt man eine Zahl namens Pi (), die eine nicht endende, sich nicht wiederholende Dezimalzahl ist. Pi wird oft durch die Werte 3,14 und angenähert. Sie können den Umfang oder die Fläche zusammengesetzter Formen – einschließlich Formen, die kreisförmige Abschnitte enthalten – ermitteln, indem Sie die Formeln für den Umfang und die Fläche anwenden, wo es angebracht ist.