Geschichte des Logarithmus
Die Erfindung des Logarithmus wurde durch den Vergleich von arithmetischen und geometrischen Reihen vorausgesagt. In einer geometrischen Folge bildet jeder Term ein konstantes Verhältnis mit seinem Nachfolger; zum Beispiel hat …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… ein gemeinsames Verhältnis von 10. In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jeder aufeinanderfolgende Term durch eine Konstante, die als gemeinsame Differenz bezeichnet wird; zum Beispiel hat …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… eine gemeinsame Differenz von 1. Beachten Sie, dass eine geometrische Folge in Form ihres gemeinsamen Verhältnisses geschrieben werden kann; für das oben angegebene Beispiel einer geometrischen Folge: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Die Multiplikation zweier Zahlen in der geometrischen Folge, z. B. 1/10 und 100, ist gleichbedeutend mit der Addition der entsprechenden Exponenten des gemeinsamen Verhältnisses, -1 und 2, um 101 = 10 zu erhalten. Die Multiplikation wird also in eine Addition umgewandelt. Der ursprüngliche Vergleich zwischen den beiden Reihen basierte jedoch nicht auf der expliziten Verwendung der Exponentialschreibweise; diese wurde erst später entwickelt. Die erste Tabelle, die auf dem Konzept der Verknüpfung von geometrischen und arithmetischen Reihen beruht, wurde 1620 von dem Schweizer Mathematiker Joost Bürgi in Prag veröffentlicht.
Der schottische Mathematiker John Napier veröffentlichte 1614 seine Entdeckung der Logarithmen. Er wollte damit die Multiplikation von Größen erleichtern, die damals Sinus genannt wurden. Der gesamte Sinus war der Wert der Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer großen Hypotenuse. (Napiers ursprüngliche Hypotenuse war 107.) Seine Definition wurde in Form von relativen Raten gegeben.
Der Logarithmus eines Sinus ist daher eine Zahl, die sehr knapp die Linie ausdrückt, die in der mittleren Zeit gleichmäßig zunimmt, während die Linie des gesamten Sinus proportional zu diesem Sinus abnimmt, wobei beide Bewegungen zeitlich gleich sind und sich der Anfang gleichmäßig verschiebt.
In Zusammenarbeit mit dem englischen Mathematiker Henry Briggs brachte Napier seinen Logarithmus in seine moderne Form. Für den napierschen Logarithmus wäre der Vergleich zwischen Punkten, die sich auf einer abgestuften Geraden bewegen, der Punkt L (für den Logarithmus) bewegt sich gleichmäßig von minus unendlich nach plus unendlich, der Punkt X (für den Sinus) bewegt sich von Null nach unendlich mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu seinem Abstand von Null ist. Außerdem ist L gleich Null, wenn X gleich Eins ist, und ihre Geschwindigkeit ist in diesem Punkt gleich. Das Wesentliche an Napiers Entdeckung ist, dass dies eine Verallgemeinerung der Beziehung zwischen der arithmetischen und der geometrischen Reihe darstellt, d. h. die Multiplikation und die Potenzierung der Werte des Punktes X entsprechen der Addition bzw. der Multiplikation der Werte des Punktes L. In der Praxis ist es zweckmäßig, die L- und X-Bewegung durch die Bedingung einzuschränken, dass L = 1 bei X = 10 ist, zusätzlich zu der Bedingung, dass X = 1 bei L = 0 ist. Diese Änderung führte zum Briggs’schen oder gewöhnlichen Logarithmus.
Napier starb 1617 und Briggs machte allein weiter und veröffentlichte 1624 eine Tabelle von Logarithmen, die auf 14 Dezimalstellen für Zahlen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 berechnet wurden. Im Jahr 1628 brachte der niederländische Verleger Adriaan Vlacq eine 10-stellige Tabelle für Werte von 1 bis 100.000 heraus und fügte die fehlenden 70.000 Werte hinzu. Sowohl Briggs als auch Vlacq beschäftigten sich mit der Aufstellung von trigonometrischen Logarithmentafeln. Diese frühen Tabellen waren entweder auf ein Hundertstel eines Grades oder auf eine Bogenminute genau. Im 18. Jahrhundert wurden Tabellen für 10-Sekunden-Intervalle veröffentlicht, die für Tabellen mit sieben Dezimalstellen geeignet waren. Im Allgemeinen sind für die Berechnung logarithmischer Funktionen kleinerer Zahlen feinere Intervalle erforderlich – zum Beispiel bei der Berechnung der Funktionen log sin x und log tan x.
Die Verfügbarkeit von Logarithmen hatte großen Einfluss auf die Form der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Die Verfahren der Trigonometrie wurden umgestaltet, um Formeln zu erstellen, in denen die Operationen, die von Logarithmen abhängen, auf einmal durchgeführt werden. Der Rückgriff auf die Tabellen bestand dann nur noch aus zwei Schritten, der Beschaffung von Logarithmen und, nach der Durchführung von Berechnungen mit den Logarithmen, der Beschaffung von Antilogarithmen.
Francis J. Murray