Abstract

Der einfachste Weg zum Verständnis der sogenannten Erweiterungen des Zahlbegriffs führt über die zur Addition, Multiplikation und Potenzierung inversen Operationen. Beginnen wir unsere Untersuchungen mit einer Beobachtung von Russell, die den grundlegenden Fehler in der tief verwurzelten Auffassung dieser neuen „Zahlen“ aufdeckt: „Einer der Fehler, die die Entdeckung korrekter Definitionen in diesem Bereich verzögert haben, ist die allgemeine Vorstellung, dass jede Erweiterung der Zahl die vorherigen Arten als Sonderfälle einschließt. Man dachte, dass bei der Behandlung von positiven und negativen ganzen Zahlen die positiven ganzen Zahlen mit den ursprünglichen vorzeichenlosen ganzen Zahlen identifiziert werden könnten. Man dachte auch, dass ein Bruch, dessen Nenner 1 ist, mit der natürlichen Zahl, die sein Zähler ist, identifiziert werden kann. Und die irrationalen Zahlen, wie die Quadratwurzel aus 2, sollten ihren Platz unter den rationalen Brüchen finden, da sie größer als die einen und kleiner als die anderen sind, so dass rationale und irrationale Zahlen zusammen als eine Klasse betrachtet werden könnten, die man „reelle Zahlen“ nennt. Und als der Begriff der Zahl weiter ausgedehnt wurde, um „komplexe“ Zahlen einzubeziehen, d. h. Zahlen, die die Quadratwurzel aus – 1 enthalten, dachte man, dass die reellen Zahlen als diejenigen unter den komplexen Zahlen betrachtet werden könnten, bei denen der imaginäre Teil (d. h. der Teil, der ein Vielfaches der Quadratwurzel aus – 1 war) Null war. Alle diese Annahmen waren falsch und müssen verworfen werden…, wenn korrekte Definitionen gegeben werden sollen. „1