Elektronenbahnen eines Heliumatoms.

Abbildung 1. Die Form der Elektronenbahnen eines Heliumatoms in der Para-Konfiguration, die dem Grundzustand eines Atoms entspricht. Die Bahnen von zwei Elektronen sind in unterschiedlichen Farben dargestellt (erstes Elektron – blau, zweites Elektron – grün). Die geraden Linien, die vom Kern ausgehen, zeigen die Richtungen der Orbitalmomente und die Richtungen der induzierten Magnetfelder für jedes Elektron.

Abstract.

Unsere Analyse der Elektronenbahn eines Heliumatoms wiederholt einige Aspekte unserer Analyse der Elektronenbahn eines Wasserstoffatoms, da es sich um die gleichen Arten von Bahnen handelt. In Anbetracht der Tatsache, dass das Wasserstoffatom nur ein Elektron hat, war unsere Lösung nicht unbedingt die einzig mögliche Lösung für die Elektronenbahn.

Im Fall des Heliumatoms gibt es nur eine Lösung für zwei Elektronen, die sowohl Dipol- als auch Quadrupolmomente erzeugen. Zusätzliche Einschränkungen können für die Modellkontrolle verwendet werden, da ortho- und para-Konfigurationen von Elektronenbahnen ihre spezifischen Sätze von Energieniveaus haben.

Wir präsentieren hier eine einfache Lösung sowie ein detailliertes Bild der Elektronenbahnen in Heliumatomen. Es werden sowohl para- als auch ortho-Konfigurationen von Elektronenbahnen analysiert. Wir erklären, warum der Grundzustand eines Heliumatoms nicht der Zustand mit der niedrigsten Energie ist.

Quantenmechanische Ausdrücke für Hamiltonianer sowohl für Helium als auch für Wasserstoff enthalten nicht den Begriff der Maxwell-Elektrodynamik. Magnetfelder, die durch rotierende Elektronen induziert werden, werden einfach ignoriert.

Wir kombinieren Elektrodynamik und Quantenmechanik, um die genauen Parameter der Bahnen zu berechnen.

Das Pauli-Prinzip postuliert die Spinrichtungen der Elektronen als oben und unten. Dieses Prinzip muss in der Quantenmechanik postuliert werden, weil es sowohl dem Energieerhaltungssatz als auch der Elektrostatik widerspricht. Wir zeigen, dass die tatsächliche Richtung der Spins radial zum Zentrum des Kerns hin und vom Zentrum des Kerns weg verläuft. Unser Modell erklärt das Pauli-Prinzip, braucht aber kein Postulat.

Die Orbitalmomente der Elektronen in unserem Modell richten sich entlang der Radien der Elektronenbahnen aus. Sie können Richtungen zum Zentrum des Kerns hin und von ihm weg haben. In unserem Modell richten sich die Elektronenspins entlang der Magnetfelder aus, die durch die Orbitalbewegung der Elektronen entstehen. Elektronenspins verhalten sich ähnlich wie ein Kompass, der sich entlang des stärkeren Magnetfeldes ausrichtet.

Die komplizierten Energiespektren eines Heliumatoms lassen sich einfach durch zwei Arten von Bahnen und zwei Gruppen von Energieniveaus für ortho- und para-Helium erklären.

Wir verwenden die Quantenmechanik auf die gleiche Weise wie N. Bohr für sein Modell des Wasserstoffatoms, aber wir verwenden keine Operatoren, so dass wir nicht an die statistischen Eigenschaften der Unschärferelation gebunden sind.

In demselben Ansatz, den wir für die Umlaufbahn des Wasserstoffatoms verwendet haben, brauchen wir weder das quantenmechanische Orbitalpostulat noch das Pauli-Postulat oder andere Postulate zu verwenden.

Einleitung &Der aktuelle Stand des Problems.

Quantenmechanische Orbitale zeigen an, dass sich die maximale Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Elektron in einem Atom zu finden, im Inneren des Protons in einem Wasserstoffatom befindet. Die Elektronenbahn wird als Faltung der Form des Orbitals und der experimentell vermuteten Form von Kugelschalen berechnet.

Für ein Heliumatom funktioniert dieser Ansatz nicht. Deshalb gibt es neben der kreisförmigen Form der Elektronenbahn keine Berechnung der tatsächlichen Form der Elektronenbahn in einem Heliumatom.

Experimente belegen, dass sich im Falle eines Heliumatoms der Unterschied zwischen ortho-Helium und para-Helium nicht auf den entgegengesetzten Spin beschränkt. Es handelt sich um unterschiedliche Atomorbit-Konfigurationen mit unterschiedlichen Energieniveaus. Die Art dieses Unterschieds wird nicht erörtert.

In Projekt 2 werden wir uns mit diesen Problemen befassen und weitere Fragen erörtern.

Im vorangegangenen Teil haben wir angedeutet, dass der differenzielle Ansatz für ein Wasserstoffatom mehrere Arten von Lösungen hervorbringen kann. Das Vorhandensein von nur einem Elektron machte es ziemlich schwierig, eine korrekte Lösung für ein einzelnes Dipolmoment zu wählen. Zwei Elektronen in einem Heliumatom erzeugen sowohl ein Dipol- als auch ein Quadrupolmoment und beschränken die Parameter jedes Teils der Umlaufbahn auf ein einzelnes Viertel einer Kugel. In Verbindung mit dem edlen Verhalten bei chemischen Reaktionen geben uns diese Bedingungen die Möglichkeit, eine einzige Lösung zu finden.

Richtungen der Elektronenspins.

Zunächst müssen wir etwas über die Richtungen der Spins und über den Begriff der Spin-Orbital-Wechselwirkung sagen.

• Die einzelnen Spins der Elektronen in einem Heliumatom sind gleich einer Hälfte. Der Gesamtspin eines Heliumatoms im Grundzustand ist gleich Null. Aus mathematischer Sicht handelt es sich um eine einfache Aufgabe mit zwei Vektoren, die in der Vektoralgebra nur eine Lösung hat. Die Vektoren des Spins müssen auf der gleichen Linie liegen und entgegengesetzte Richtungen haben. Wenn diese Vektoren nicht entlang derselben Geraden ausgerichtet sind, ist ihre Summe ungleich Null. Diese beiden Vektoren ergeben das Rotationsmoment. Das bedeutet, dass im Grundzustand eines Heliumatoms die Spin-Vektoren beider Elektronen entlang der Linie ausgerichtet sein sollten, die ihre Positionen verbindet. Im Singulett-Zustand sind die Richtungen der Spins entgegengesetzt. Diese Aussage ist für para-Heliumatome absolut korrekt. Für eine ortho-Helium-Konfiguration ist die Situation etwas komplizierter und wir werden sie weiter unten analysieren.

Lassen Sie uns unten einen Blick auf die Richtungen der Elektronenspins werfen.

Abbildung 2a. Die Summe der Vektoren des Spins, die entlang derselben Linie in entgegengesetzten Richtungen ausgerichtet sind, ergibt in unserem Modell einen Gesamtspin gleich Null.

Abbildung 2b. Die Summe der Aufwärts- und Abwärtsvektoren der Elektronenspins ist nicht gleich Null. Die Kombination dieser Spins ergibt in dem Modell, das das Pauli-Prinzip anwendet, ein neues Rotationsmoment.

Die Vektoren des Elektronenspins haben eine magnetische Natur. Sie verhalten sich ähnlich wie ein Kompass, das heißt, sie ordnen sich entlang eines stärkeren Magnetfeldes an, das durch die Orbitalbewegung der Elektronen entsteht. Dies bringt uns zu dem Schluss, dass die magnetischen Vektoren der orbitalen Momente in unserem Modell ebenfalls auf das Zentrum des Kerns ausgerichtet sein sollten.

Die kontinuierliche Bewegung eines Elektrons entlang seiner Bahn induziert Magnetfelder. In unserem Modell werden vier entgegengesetzte Magnetfelder in der Länge einer Runde einer Elektronenbahn erzeugt. Diese Felder haben die gleiche Amplitude.

Heliumatom.

Für das Heliumatom verwenden wir das gleiche Modell wie für das Wasserstoffatom. Der einzige Unterschied ist die doppelte Ladung des Kerns und die zwei Elektronen auf der Umlaufbahn.

Die Energie eines sich bewegenden Elektrons kann aus der klassischen und der Quantenmechanik wie folgt ausgedrückt werden:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

In dieser Formel ist $m$ – die Elektronenmasse, $v$ – die Elektronengeschwindigkeit, $h$ – die Plancksche Konstante, $f$ – die Frequenz einer Elektronenwelle und $n$ eine ganze Zahl.

Gleichung (1) stellt den Unterschied zwischen dem „starren Rotator“ der Quantenmechanik und unserem Modell dar. Wir betrachten jedes Teilchen mit seiner individuellen Welle und nicht zwei oder drei Teilchen mit einer einzigen kombinierten Welle. In unserem Modell sollten die Wellen untereinander interferieren, können aber nicht einfach addiert werden.

Deshalb wird die Formel (1) für jedes einzelne Elektron geschrieben und ist für Wasserstoff- oder Heliumatome gleich.

Die Länge von vier Hemikugeln muss gleich sein:

$L = 4 {\ } \pi {\ } r = n \cdot \lambda$ (2).

Die Frequenz der Elektronenumlaufbahn kann als die Geschwindigkeit des Elektrons geteilt durch die Länge der Umlaufbahn ermittelt werden:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \pi {\ }r}$ (3).

Die Substitution der Frequenz aus (3) in (1) ergibt:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\ } n }{4 {\ } \pi {\ } r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Wir verwenden die reduzierte Planck-Konstante $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ in Ausdruck (4a).

Aus Gleichung (4) ergibt sich der Ausdruck für das Elektronenbahnmoment:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Ausdruck (4) bedeutet, dass das Elektronenbahnmoment gleich der ganzen Zahl ist, multipliziert mit der reduzierten Planck-Konstante. Dieser Ausdruck ist derselbe, den wir für das Wasserstoffatom erhalten haben, und er bedeutet, dass wir das Bahnmoment-Postulat für das Heliumatom nicht benötigen. Diese Schlussfolgerung wird für andere Atome des Periodensystems mit Elektronenbahnen des Typs $s$ in ihrer Struktur wichtig sein.

In unserer Analyse der Form der Elektronenbahn des Wasserstoffatoms kamen wir zu dem Schluss, dass es keine numerische Lösung für den Bahntyp gibt, bei dem die Vektoren der induzierten Magnetfelder parallel oder senkrecht zu den Achsen $x, y, z$ stehen. Eine solche Bahnkonfiguration würde dem Ergebnis von Gleichung (4) widersprechen.

Die Lösung der Faraday-Gleichung

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (5)

finden wir in Form der elliptischen Elektronenbahn, projiziert auf die Kugeloberfläche.

Abbildung 3. Elektronenbahn für die ortho-Konfiguration des Heliumatoms.

Abbildung 4. Elektronenbahn für die para-Konfiguration des Heliumatoms. Das grüne Elektron bewegt sich entlang der blauen Linie. Das blaue Elektron bewegt sich entlang der grünen Linie. Dies wurde zur besseren Verdeutlichung gemacht. Die geraden Linien zeigen die Richtung der induzierten Felder.

In der Para-Konfiguration weisen sowohl die Konfiguration der Bahnen als auch die Positionen der Elektronen zu jedem Zeitpunkt eine punktförmige Kugelsymmetrie auf. Das bedeutet, dass die gerade Linie, die die Positionen der Elektronen verbindet, immer das Zentrum des Kerns durchquert.

Das Verfahren zur Bestimmung der Parameter der Elektronenbahn ist das gleiche, das wir für das Wasserstoffatom verwendet haben. Wir müssen die Werte von drei Parametern finden, die die elliptische Flugbahn der Elektronen im Heliumatom definieren, und wir werden diese Werte in den Einheiten des Radius der Elektronenbahn ausdrücken.

Wir beginnen mit der ortho-Konfiguration.

Obwohl die Werte für diese Parameter, ausgedrückt in Einheiten des Radius, den Ausdrücken für das Wasserstoffatom ähnlich sind, sind die tatsächlichen Werte für das Heliumatom anders:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

Die Energie des Helium-Ions, wenn nur noch ein Elektron auf der Bahn verbleibt, ist die gleiche, die im Bohr’schen Modell berechnet wurde:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54.4 eV$ (7).

Dieses Ergebnis ist bekannt und bedarf keiner weiteren Interpretation.

Im Fall eines Heliumatoms mit zwei Elektronen, die den Kern umkreisen, beginnen wir mit der Berechnung der Bahnlänge.

Die Bahnlänge ist gleich:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Wir haben in unseren Berechnungen die Ramanujan-Formel für die Länge der Ellipse verwendet.

Diese Bahnen haben drei Parameter $a, b$ und $r$. Ähnlich wie beim Wasserstoffatom können die Werte für die Parameter $a$ und $b$ in den Einheiten des Kugelradius $r$ der Umlaufbahn ausgedrückt werden als:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

Die Funktion, die die Elektronenbahn darstellt, sowie die Ableitung dieser Funktion sind stetig und haben keine Singularitäten.

Für zwei Elektronen auf der Kugeloberfläche besteht ein Gleichgewicht zwischen der Coulombkraft und der Zentripetalkraft:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\ } epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

Die Geschwindigkeit des Elektrons kann aus (10) ausgedrückt werden als:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } $ (11).

Formel (8) garantiert, dass der Ausdruck für das Orbitalmoment korrekt ist:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

Kombination von (11) und (12) ergibt den Radius der Kugeloberfläche der Elektronenbahn:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

Die Energie von zwei Elektronen auf der Heliumbahn lässt sich berechnen als:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}{2}$ (17).

Die zweite Potenz der Elektronengeschwindigkeit kann aus (11) ausgedrückt werden als:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Wir haben Ausdruck (16) für den Radius der Elektronenbahn verwendet.

Aus Gleichung (17) wäre der Wert der Energie der Elektronenzustände gleich:

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Dieser Wert ist die Energie für den niedrigsten Zustand des Heliumatoms in der ortho-Konfiguration. Diese Energiemenge wird benötigt, damit ein Elektron das Ionisationsniveau erreicht. Wenn wir die Ionisierungsenergie im Vakuum als Null bezeichnen, dann sollte diese Energie negativ sein.

Formel (27) beschreibt das Spektrum der Energieniveaus des Heliumatoms in einer ortho-Konfiguration. Andere Energieniveaus von ortho-Helium für $n > 1$ sowie Übergänge zwischen ihnen sollten in Helium-Spektren beobachtbar sein, vorausgesetzt, die Anregungsmethode berücksichtigt die spin-verbotenen Übergänge zwischen dem Singulett-para-Helium-Grundzustand und dem Triplett-ortho-Helium-Anregungszustand. Unter normalen Bedingungen mit einer optischen Anregungsquelle ist das Spektrum der ortho-Helium-Linien praktisch unsichtbar.

Dieser ortho-Zustand des Heliumatoms kann nicht der Grundzustand sein, da sowohl das Orbitalmoment als auch der Spin des Atoms in diesem Zustand nicht gleich Null sind. Das bedeutet, dass das Heliumatom in diesem Zustand sehr reaktiv wäre und sich ähnlich wie ein Wasserstoffatom verhalten würde.

Der Grundzustand des einatomigen Trägheitsgases Helium gehört zum Para-Zustand von Helium.

Para-Helium.

Abbildung 5 unten zeigt die Para-Konfiguration einer Elektronenbahn eines Heliumatoms. Die Bahnen eines Elektrons sind in blau und eines anderen in grün dargestellt. Diese Bahnen haben einen Symmetriepunkt in der Mitte des Kerns. Zu jedem Zeitpunkt nehmen zwei Elektronen Positionen auf den gegenüberliegenden Seiten des Durchmessers der Elektronenbahnen ein. Die Richtungen der Orbitalmomente sowie die Richtungen der induzierten Magnetfelder werden durch vier rote Linien für ein Elektron und vier grüne Linien für ein anderes Elektron angezeigt. Der Winkel zwischen zwei Linien gleicher Farbe beträgt etwa 109,47 Grad. Die Richtungen von zwei Impulsen und zwei Magnetfeldern für jedes Elektron sind auf das Zentrum der Kugel gerichtet und zwei andere Vektoren haben Richtungen weg vom Zentrum der Kugel.

Abbildung 5. Elektronenbahnen eines Heliumatoms in der Para-Konfiguration.

Abbildung 5 zeigt die Bahnen der Elektronen in der para-Konfiguration eines Heliumatoms. Die grünen und blauen Elektronen befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten des Durchmessers ihrer Umlaufbahn. Ihre Bahnen sind symmetrisch zur Position des Protons. Die Richtungen des induzierten Magnetfeldes sind als grüne und blaue Linien dargestellt.

Für die Para-Konfiguration eines Elektronenorbits sind der Gesamtspin, die Bahnmomente sowie die Integrale des elektrischen und des induzierten Magnetfeldes gleich Null.

Daher nimmt ein Heliumatom in der Para-Konfiguration des Orbits einen stabilen Energiezustand ein und es ist keine äußere Wechselwirkung erforderlich, um die nicht ausgeglichenen Bahnmomente und Spinfelder zu kompensieren. Das ist der Grund dafür, dass Heliumatome in der para-Konfiguration edle, träge & einatomige Gase sind.

Um den Wert der Energie in der para-Konfiguration zu finden, müssen wir den Wert der Energie eines Elektrons in einer ortho-Konfiguration mit dem sterischen Vektorkoeffizienten multiplizieren (siehe nächster Absatz):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.909 $ (20).

Die Energie des Grundzustands eines Heliumatoms ist gleich der Energie des niedrigsten Zustands in der para-Konfiguration:

$E_0 = 27.2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (21).

Dieses Ergebnis stimmt mit dem experimentellen Wert für die Ionisierungsenergie des ersten Elektrons eines Heliumatoms überein, der $E_{ionization} = 24.6 eV$ beträgt. Der Energieunterschied von etwa $\Delta E = 0,1 eV$ sollte auf die Spin-Spin-Wechselwirkung zurückgeführt werden.

Obwohl im Grundzustand, existiert ein Heliumatom nur in der Para-Konfiguration. Die angeregten Zustände beider Konfigurationen können in Spektraldaten beobachtet werden, obwohl Übergänge zwischen diesen beiden Zuständen im Falle einer optischen Anregung nicht beobachtet werden können, da sie spin-verboten sind. Die Elektronenanregung würde dieses Problem lösen und es wäre möglich, Niveaus für beide Zustände zu beobachten.

Berechnungen des sterischen Vektorkoeffizienten für para-Helium.

In unseren Berechnungen des Elektronenbahnmoments haben wir das Prinzip der Unabhängigkeit der orthogonalen Komponenten einer Elektronenbewegung verwendet. Ohne besondere Erklärung nahmen wir an, dass Komponenten, die orthogonal zur Orbitalkomponente sind, keinen Beitrag zur Gesamtenergie der Elektronen in einem Heliumatom leisten. Wir haben die Energie zweier Elektronensysteme so berechnet, als ob die Gesamtenergie als skalare Funktion des Bahnradius kombiniert wird und den Vektorcharakter der Winkelkomponenten einer Elektronenbahn vernachlässigt.

Aus der Sicht der klassischen Mechanik erscheint ein solcher Ansatz gerechtfertigt, da sich zwei Elektronen in einem Heliumatom an den entgegengesetzten Enden des Durchmessers ihrer Bahnen befinden. Das gleiche Argument könnte man für die Quantenmechanik anführen, die die Elektronen als eine verteilte Wolke darstellt, in der die Positionen der einzelnen Elektronen nicht definiert oder bestimmt werden können.

Aber unsere Berechnungen basieren auf der Elektrodynamik.

Die Energie eines Elektrons in einem elektrischen Feld kann als Feldpotential multipliziert mit der Ladung des Elektrons berechnet werden:

$Energie = E \cdot e$ (22).

Dieser Ausdruck beschreibt die potentielle Energie. Sie wird zur Energie des Elektrons, nachdem das Elektron die Strecke entlang des Feldes mit diesem Potential zurückgelegt hat.

Nach der Faraday-Formel ist das durch bewegte Ladungen induzierte Magnetfeld gleich:

$\oint E \cdot ds = – \frac{\partial \Phi _{mag}}{\partial t}$ (23).

Diese Faraday-Formel gibt uns die Möglichkeit, die Regeln der Addition von Vektorausdrücken zu erstellen, die proportional zu den Energien der einzelnen Elektronen sind. Anstelle eines dreidimensionalen Integrals des elektrischen Feldes wird die Summe der Vektoren des induzierten Magnetfeldes für das erste Elektron und des Vektors des induzierten Magnetfeldes für das zweite Elektron ermittelt, da diese Werte in direktem Verhältnis zueinander stehen. Dann verwenden wir den sterischen Koeffizienten, den wir für die induzierten magnetischen Vektoren finden, um die Energie der Elektronen zu kombinieren.

Der Energiewert für jedes Elektron in Gleichung (24) ist gleich der Hälfte der Gesamtenergie, die wir für die ortho-Konfiguration des Heliumatoms gefunden haben:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

Die Energie von zwei Elektronensystemen ist gleich der Energie des ersten Elektrons plus der Energie des zweiten Elektrons, multipliziert mit dem sterischen Vektorkoeffizienten:

$Energie = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Die induzierten Magnetfelder für jedes Elektron in einem Heliumatom haben die Geometrie eines Würfels mit den Winkeln von 109,47 Grad zwischen den Richtungen der induzierten Magnetfelder. Das bedeutet, dass jeder Vektor des induzierten Magnetfeldes durch eine Linie vom Zentrum des Würfels zu einer nicht benachbarten Ecke des Würfels dargestellt werden kann:

Abbildung 6. illustriert den Fall für zwei Elektronen, deren Bahnen eine Punktsymmetrie im Zentrum des Würfels aufweisen.

Die rote Kugel stellt den Heliumkern dar. Die roten Linien zeigen die Richtung des induzierten Magnetfeldes für ein Elektron. Die grünen Linien zeigen die Richtung der induzierten Magnetfelder für das andere Elektron. Von den vier Vektoren für jedes Elektron haben zwei Vektoren die Richtung zum Kern und die beiden anderen Vektoren die Richtung zu den Ecken des Würfels.

Der sterische Koeffizient kann aus Abbildung 6 berechnet werden. Wenn wir annehmen, dass die Seitenlänge des Würfels 2a beträgt, dann wäre die Länge der Diagonalen AO und BO gleich:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

Die halbe Summe dieser beiden Momente oder die Linie OC hat die Länge:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Das bedeutet, dass man, um den Vektorimpuls eines zweiten Elektrons zum Vektor des ersten Elektrons zu addieren, den Vektor des zweiten Elektrons mit dem sterischen Koeffizienten multiplizieren muss:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (27).

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