Vektor, in der Mathematik, eine Größe, die sowohl Größe als auch Richtung, aber keine Position hat. Beispiele für solche Größen sind Geschwindigkeit und Beschleunigung. Jahrhundert, als Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside (aus den Vereinigten Staaten bzw. Großbritannien) unabhängig voneinander die Vektoranalyse entwickelten, um die neuen Gesetze des Elektromagnetismus auszudrücken, die der schottische Physiker James Clerk Maxwell entdeckt hatte. Seitdem sind Vektoren in der Physik, der Mechanik, der Elektrotechnik und anderen Wissenschaften unverzichtbar geworden, um Kräfte mathematisch zu beschreiben.

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lineare Algebra: Vektoren und Vektorräume

Die lineare Algebra beginnt in der Regel mit der Untersuchung von Vektoren, die als Größen mit Betrag und Richtung verstanden werden. Vektoren…

Vektoren kann man sich als gerichtete Liniensegmente vorstellen, deren Längen ihre Beträge sind. Da nur der Betrag und die Richtung eines Vektors von Bedeutung sind, kann jedes gerichtete Segment durch ein Segment gleicher Länge und Richtung ersetzt werden, das jedoch an einem anderen Punkt, z. B. dem Ursprung eines Koordinatensystems, beginnt. Vektoren werden in der Regel durch einen fettgedruckten Buchstaben gekennzeichnet, z. B. v. Der Betrag oder die Länge eines Vektors wird durch |v| oder v angegeben, das eine eindimensionale Größe (z. B. eine gewöhnliche Zahl) darstellt, die als Skalar bezeichnet wird. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ändert die Länge des Vektors, aber nicht seine Richtung, mit der Ausnahme, dass die Multiplikation mit einer negativen Zahl die Pfeilrichtung des Vektors umkehrt. Zum Beispiel ergibt die Multiplikation eines Vektors mit 1/2 einen halb so langen Vektor in der gleichen Richtung, während die Multiplikation eines Vektors mit -2 einen doppelt so langen Vektor ergibt, der aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Zwei Vektoren können addiert oder subtrahiert werden. Um beispielsweise die Vektoren v und w grafisch zu addieren oder zu subtrahieren (siehe Diagramm), verschiebt man beide zum Ursprung und vervollständigt das Parallelogramm, das durch die beiden Vektoren gebildet wird; v + w ist dann der eine Diagonalvektor des Parallelogramms und v – w ist der andere Diagonalvektor.

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Kreuz- oder Vektorprodukt ergibt einen anderen Vektor, der mit v × w bezeichnet wird. Der Betrag des Kreuzprodukts ist gegeben durch |v × w| = vw sin θ, wobei θ der kleinere Winkel zwischen den Vektoren (mit ihren „Schwänzen“ zusammen) ist. Die Richtung von v × w steht sowohl auf v als auch auf w senkrecht, und ihre Richtung kann, wie in der Abbildung gezeigt, mit der Rechten-Hand-Regel veranschaulicht werden. Das Kreuzprodukt wird häufig verwendet, um eine „Normale“ (eine Linie senkrecht zu einer Oberfläche) in einem bestimmten Punkt zu erhalten, und es kommt bei der Berechnung des Drehmoments und der magnetischen Kraft auf ein bewegtes geladenes Teilchen vor.

Die andere Art, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren, nennt man Punktprodukt oder manchmal auch Skalarprodukt, weil es einen Skalar ergibt. Das Punktprodukt ist gegeben durch v ∙ w = vw cos θ, wobei θ der kleinere Winkel zwischen den Vektoren ist. Das Punktprodukt wird verwendet, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. (Beachten Sie, dass das Punktprodukt Null ist, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.) Eine typische physikalische Anwendung ist die Ermittlung der Arbeit W, die von einer konstanten Kraft F auf ein bewegtes Objekt d ausgeübt wird; die Arbeit ist gegeben durch W = Fd cos θ.