Wenn es in einer Klasse sieben Jungen und zwölf Mädchen gibt, dann kann das Verhältnis von Jungen zu Mädchen als 7 zu 12 oder 7:12 ausgedrückt werden. Ein Verhältnis vergleicht die Größe oder den Umfang zweier Zahlen. Zwei weitere verwandte Konzepte, Rate und Proportion, werden zusammen mit dem Verhältnis zur Lösung vieler realer Probleme verwendet, bei denen es um den Vergleich verschiedener Mengen geht.
Berechnen von Verhältnissen
Angenommen, ein Parkhaus enthält sechs blaue und zwei grüne Autos. Das Verhältnis von blauen Autos zu grünen Autos kann als Bruch ausgedrückt werden. Wenn die beiden grünen Autos das Parkhaus verlassen, gibt es null grüne Autos und das Verhältnis wird . Die Division durch Null ist jedoch nicht definiert, so dass diese Form des Verhältnisses bedeutungslos ist. Ein Verhältnis als Bruch auszudrücken, ist gültig, solange b nicht gleich Null ist. Das Verhältnis von blauen zu grünen Autos kann jedoch immer noch als 6 zu 0 oder 6:0 geschrieben werden.
Verhältnisse können verwendet werden, um Mengen von Objekten der gleichen Art und von verschiedenen Arten zu vergleichen. Es gibt zwei Arten von Verhältnissen, die Mengen gleicher Art miteinander vergleichen. Wenn man einen Teil des Ganzen mit dem Ganzen vergleicht, dann ist das Verhältnis ein Teil-Ganzes-Verhältnis. Wenn man einen Teil des Ganzen mit einem anderen Teil des Ganzen vergleicht, dann ist das Verhältnis ein Teil-Teil-Verhältnis.
Angenommen, es gibt eine Mauer, die aus zwölf Blöcken besteht, fünf weißen Blöcken und sieben roten Blöcken. Das Verhältnis der weißen Klötze zur Gesamtzahl der Klötze ist , was ein Teil-Ganzes-Verhältnis ist. Das Verhältnis von weißen Blöcken zu roten Blöcken ist , was ein Teil-Teil-Verhältnis ist.
Figuring Rates
Ein Verhältnis, das Mengen unterschiedlicher Art vergleicht, wird als Rate bezeichnet. Eine Telefongesellschaft berechnet 0,84 $ für 7 Minuten Ferngespräch, und ein Schüler liest 10 Seiten in 8 Minuten. Der erste Tarif ist der Minutentarif, der gleich dem Minutentarif ist (man erhält ihn, indem man beide Begriffe durch 7 teilt). Der zweite Satz ist Minuten, was gleich Minuten ist.
Der Satz im ersten Beispiel wird als Einheitssatz bezeichnet. Bei einem Einheitssatz ist die Menge im Nenner gleich 1. Ein Einheitssatz wird häufig verwendet, um die Kosten von zwei ähnlichen Artikeln zu vergleichen. Wenn eine 12-Unzen-Schachtel Cornflakes für 2,40 $ verkauft wird und eine 16-Unzen-Schachtel für 2,88 $, welche ist dann die bessere Wahl? Der Stückpreis der ersten Schachtel beträgt $0,20/Unze (Unzen), der Stückpreis der zweiten Schachtel $0,18/Unze (Unzen). Daher ist die zweite Schachtel günstiger.
Verstehen von Proportionen
Wenn zwei Verhältnisse gleich sind, wird die mathematische Aussage dieser Gleichheit als Proportion bezeichnet. Die Aussage, die eine Proportion ist. Wenn gleich ist, dann nennt man das ein Verhältnis. Um herauszufinden, ob zwei Verhältnisse ein Verhältnis bilden, kann man das Kreuzprodukt auswerten. Wenn und Verhältnisse sind, dann bilden die beiden Verhältnisse eine Proportion, wenn ad = bc.
Proportionen werden verwendet, wenn drei Größen gegeben sind und die vierte Größe eine Unbekannte ist. Angenommen, eine Person fährt 126 Meilen in 3 Stunden. Wie viele Kilometer würde der Fahrer bei gleicher Geschwindigkeit in 4 Stunden zurücklegen? Da die Fahrgeschwindigkeit gleich bleibt, kann eine Proportion geschrieben werden.
Die unbekannte Größe, die vom Auto in 4 Stunden zurückgelegte Strecke, kann durch x angegeben werden, so dass die beiden Verhältnisse und eine Proportion bilden.
Multipliziert man beide Seiten mit 4 oder verwendet man die Kreuzmultiplikation, so erhält man x = 168 Meilen.
Siehe auch Zahlen, Rationale.
Rafiq Ladhani
Bibliographie
Amdahl, Kenn, und Jim Loats. Algebra Unplugged. Broomfield, CO: Clearwater Publishing Co. 1995.
Miller, Charles D., Vern E. Heeren, und E. John Hornsby, Jr. Mathematical Ideas, 9th ed. Boston: Addison-Wesley, 2001.
Zusammenfassende Darstellung der Begriffe
Ein Verhältnis vergleicht die Größe von zwei Mengen. Wenn die Größen unterschiedliche Einheiten haben, nennt man ein Verhältnis eine Rate. Eine Proportion ist eine Aussage über die Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen.