Lassen Sie uns ein Problem lösen, das die Grenzkosten betrifft. Ich möchte insbesondere herausfinden, wie die Grenzkosten im Vergleich zu den Kosten für die Produktion eines weiteren Artikels aussehen. Schauen wir uns unser Skateboard-Beispiel an. Angenommen, C(x) sind die Gesamtkosten für die Produktion von x Skateboards. Dies ist unsere Kostenfunktion; C(x) ist 1800 plus 10x plus 0,02x². Natürlich werden die Kosten in Dollar angegeben.
Wir werden drei Dinge tun. Wir finden die Grenzkostenfunktion, das ist einfach C'(x). B; wir finden c'(500) und geben die Einheiten an. In Teil c finden wir die tatsächlichen Kosten für die Produktion des 501. Skateboards und vergleichen diese mit unserer Antwort in Teil b.
Wir wollen sehen, wie gut die Grenzkosten für die Produktion des 501. Also, erster Teil a: Finde die Grenzkostenfunktion. Das Wichtigste an den Grenzkosten ist, dass sie nur die Ableitung von cot sind. Die Grenzkosten werden also C'(x) sein. Das heißt, die Ableitung von 1800 ist 0, die Ableitung von 10x ist 10 plus, die Ableitung von 0,02x² ist 2 mal 0,02, 0,04x. Das ist ziemlich einfach. Das ist also meine Grenzkostenfunktion.
Teil b: Finde die Grenzkosten bei 500, und gib die Einheiten an. Ich setze also einfach 500 in diese Funktion ein. C'(500) ist 10 plus 0,04 mal 500. 0,04 mal 500, wenn ich mit Dezimalzahlen multipliziere, kann ich mir das so vorstellen, dass ich mit 4 multipliziere und dann durch 100 dividiere. Multipliziert man mit 4, erhält man 2.000. Dividiert man durch 100, erhält man 20. 20 und 10 sind 30. Das ist also 30, und wie lauten die Einheiten?
Erinnern wir uns, dass C'(500) eigentlich dasselbe ist wie dc/dx. Ich kann also c'(x) so schreiben. Wenn du die Ableitung in dieser Form schreibst, ist es viel einfacher zu sehen, wie die Einheiten aussehen würden. Einheiten der Kostenfunktion geteilt durch Einheiten von x. Die Kostenfunktion hat Einheiten von Dollar. X ist einfach die Anzahl der Skateboards, also wären das die Dollar pro Skateboard, und genau das haben wir hier: Dollar pro Skateboard. Das ist also ein guter Weg, um die Einheiten für eine Ableitung zu erhalten, indem man sie in der Form betrachtet.
In Teil c wollen wir die tatsächlichen Kosten der 501sten finden. Lassen Sie mich kurz skizzieren, was ich hier tun werde. Die tatsächlichen Kosten werden C(501) minus C(500) sein. Wir sehen, dass dies eine viel kompliziertere Berechnung ist, als die, die wir gerade gemacht haben, aber sie wird uns die tatsächlichen Kosten des 501sten Skateboards liefern. Nehmen wir also diese Berechnung hier drüben auf der rechten Seite.
Ich brauche also C(501) minus C(500). Lassen Sie mich jedes dieser Elemente separat berechnen. Zuerst C(501). Das ist meine Kostenfunktion. Es ist 1800 plus 10 mal 501 plus 0,02 501². Das sind also 1800 plus 10 mal 501 ist 5.010 plus 0,02 mal 501² ist 251.001. Dann muss ich das noch mit 0,02 multiplizieren. Das ist dasselbe wie die Multiplikation mit 2 und die Division durch 100. Bei der Multiplikation mit 2 erhalte ich 502,002. Dividiert man durch 100, erhält man das. Also plus 5.010 plus 1800. Wenn ich nun alles zusammenzähle, stelle ich fest, dass ich 10.000, 30 und 2 Cents habe. Plus 1800 sind 11.832 und 2 Cent. Das sind meine Kosten für 501 Skateboards.
Was sind meine Kosten für 500? Ich muss diese Funktion wieder anwenden: 1.800 plus 10 mal 500 plus 0,02 mal 500². Das ist einfach 1.800 plus 5.000 plus 500² ist 250.000 mal 0,02 wieder multiplizieren mit 2.500.000, und dividieren durch 100 bedeutet, dass ich einen Dezimalpunkt genau dort setze. Das sind also 5.000 plus weitere 5.000 plus 1800. Das ergibt 11.800.
Die Differenz C(501) minus C(500) beträgt nun 30 Dollar und 2 Cent. Das sind die tatsächlichen Kosten für die Herstellung des 501. Skateboards. Sehen Sie sich die ganze Arbeit an, die ich gerade gemacht habe, nur um herauszufinden, dass die tatsächlichen Kosten $30 und 2 Cent betragen. Das sind die tatsächlichen Kosten für das 501. Skateboard.
Mein Näherungswert unter Verwendung der Grenzkosten hier war $30 pro Skateboard. Das war auch viel einfacher zu berechnen. Dies ist also der Wert der Grenzkosten. Nehmen Sie die Ableitung, setzen Sie 500 ein, und Sie erhalten einen sehr genauen Näherungswert für die Kosten eines weiteren Skateboards, im Gegensatz zu dieser Berechnung hier, für die ich die Hälfte des Boards benötigte. Die Grenzkosten sind also ein wirklich wertvolles Konzept. Man erhält damit auch eine sehr schnelle Schätzung der Kosten für die Herstellung eines weiteren Skateboards.