Círculos

Objetivo(s) de aprendizaje)

– Identificar las propiedades de los círculos.

– Hallar la circunferencia de un círculo.

– Encontrar el área de un círculo.

– Encontrar el área y el perímetro de figuras geométricas compuestas.

Los círculos son una forma común. Se ven por todas partes: las ruedas de un coche, los frisbees que pasan por el aire, los discos compactos que entregan datos. Todos ellos son círculos.

Un círculo es una figura bidimensional como los polígonos y los cuadriláteros. Sin embargo, los círculos se miden de forma diferente a estas otras formas, incluso hay que utilizar algunos términos diferentes para describirlos. Echemos un vistazo a esta interesante forma.

Un círculo representa un conjunto de puntos, todos los cuales están a la misma distancia de un punto medio fijo. Este punto fijo se llama centro. La distancia desde el centro del círculo a cualquier punto del círculo se llama radio.

Cuando se juntan dos radios (el plural de radio) para formar un segmento de línea a través del círculo, se tiene un diámetro. El diámetro de una circunferencia pasa por el centro de la misma y tiene sus puntos extremos en la propia circunferencia.

El diámetro de cualquier circunferencia es dos veces la longitud del radio de esa circunferencia. Se puede representar con la expresión 2r, o «dos veces el radio». Por lo tanto, si se conoce el radio de un círculo, se puede multiplicar por 2 para hallar el diámetro; esto también significa que si se conoce el diámetro de un círculo, se puede dividir por 2 para hallar el radio.

La distancia alrededor de un círculo se llama circunferencia. (Recordemos que la distancia alrededor de un polígono es el perímetro.)

Una propiedad interesante sobre los círculos es que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la misma para todos los círculos. No importa el tamaño del círculo, la relación entre la circunferencia y el diámetro será la misma.

A continuación se proporcionan algunas medidas reales de diferentes elementos. Las medidas son exactas al milímetro o al cuarto de pulgada más cercano (dependiendo de la unidad de medida utilizada). Fíjate en la relación entre la circunferencia y el diámetro de cada uno: aunque los artículos son diferentes, la relación de cada uno es aproximadamente la misma.

La circunferencia y el diámetro son medidas aproximadas, ya que no hay forma precisa de medir estas dimensiones con exactitud. Sin embargo, si pudieras medirlas con más precisión, descubrirías que el cociente se acercaría a 3,14 para cada uno de los elementos dados. El nombre matemático del cociente es pi, y se representa con la letra griega .

es un decimal que no termina ni se repite, por lo que es imposible escribirlo completamente. Los primeros 10 dígitos de son 3,141592653; a menudo se redondea a 3,14 o se estima como la fracción . Ten en cuenta que tanto 3,14 como son aproximaciones de , y se utilizan en cálculos en los que no es importante ser preciso.

Como sabes que el cociente entre la circunferencia y el diámetro (o ) es consistente para todos los círculos, puedes utilizar este número para encontrar la circunferencia de un círculo si conoces su diámetro.

= , por lo que C = d

También, como d = 2r, entonces C = d = (2r) = 2r.

Circunferencia de un círculo

Para hallar la circunferencia (C) de un círculo, utiliza una de las siguientes fórmulas:

Si conoces el diámetro (d) de un círculo:

Si conoces el radio (r) de una circunferencia:

Un círculo tiene un radio de 8 pulgadas. ¿Cuál es su circunferencia, redondeada a la pulgada más cercana?

A) 25 pulgadas

B) 50 pulgadas

C) 64 pulgadas2

D) 201 pulgadas

es un número importante en geometría. Ya lo has utilizado para calcular la circunferencia de un círculo. También utilizas cuando calculas el área de un círculo.

Área de un Círculo

Para encontrar el área (A) de un círculo, utiliza la fórmula:

Un botón tiene un diámetro de 20 milímetros. ¿Cuál es el área del botón? Utiliza 3,14 como aproximación de .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Ahora que sabes cómo calcular la circunferencia y el área de un círculo, puedes usar este conocimiento para encontrar el perímetro y el área de figuras compuestas. El truco para resolver este tipo de problemas es identificar las formas (y las partes de las formas) dentro de la figura compuesta, calcular sus dimensiones individuales y luego sumarlas.

Por ejemplo, mira la imagen de abajo. ¿Es posible encontrar el perímetro?

El primer paso es identificar las figuras más simples dentro de esta figura compuesta. Puedes descomponerla en un rectángulo y un semicírculo, como se muestra a continuación.

Sabes cómo hallar el perímetro de un rectángulo, y sabes cómo hallar la circunferencia de un círculo. Aquí, el perímetro de los tres lados sólidos del rectángulo es 8 + 20 + 20 = 48 pies. (Observa que sólo tres lados del rectángulo se sumarán al perímetro de la figura compuesta porque el otro lado no está en un borde; ¡está cubierto por el semicírculo!)

Para hallar la circunferencia del semicírculo, utiliza la fórmula con un diámetro de 8 pies, y luego toma la mitad del resultado. La circunferencia del semicírculo es , es decir, aproximadamente 12,56 pies, por lo que el perímetro total es de unos 60,56 pies.

¿Cuál es el área (a la centésima más cercana) de la figura mostrada abajo? (Ambas regiones redondeadas son semicírculos.)

A) 16,56 pulg2

B) 7,14 pulg2

C) 4 pul2

D) 3,14 pul2

Los círculos son una forma geométrica importante. La distancia alrededor de un círculo se llama circunferencia, y el espacio interior de un círculo se llama área. El cálculo de la circunferencia y el área de un círculo requiere un número llamado pi (), que es un decimal no terminante y no repetitivo. Pi se suele aproximar con los valores 3,14 y . Puedes encontrar el perímetro o el área de formas compuestas -incluyendo formas que contienen secciones circulares- aplicando las fórmulas de la circunferencia y el área cuando sea apropiado.