Orbitas de los electrones de un átomo de Helio.

Figura 1. La forma de las órbitas de los electrones de un átomo de Helio en la configuración para-, que corresponde al estado básico de un átomo. Las órbitas de dos electrones se muestran con diferentes colores (primer electrón – azul, segundo electrón – verde). Las líneas rectas originadas en el núcleo muestran las direcciones de los momentos orbitales y las direcciones de los campos magnéticos inducidos para cada electrón.

Resumen.

Nuestro análisis de la órbita de los electrones de un átomo de Helio repite varios aspectos de nuestro análisis de la órbita de los electrones de un átomo de Hidrógeno, porque son los mismos tipos de órbitas. Teniendo en cuenta que el átomo de Hidrógeno sólo tiene un electrón, nuestra solución no era estrictamente la única solución posible para la órbita del electrón.

En el caso del átomo de Helio, sólo hay una solución para dos electrones, que crean tanto momentos dipolares como cuadrupolares. Pueden utilizarse restricciones adicionales para el control del modelo, ya que las configuraciones orto y para- de las órbitas de los electrones tienen sus conjuntos específicos de niveles de energía.

Presentamos aquí una solución simple así como una imagen detallada de las órbitas de los electrones en los átomos de Helio. Se analizan las configuraciones para- y orto- de las órbitas de los electrones. Explicamos por qué el estado básico de un átomo de Helio no es el estado de menor energía.

Las expresiones de la Mecánica Cuántica para los Hamiltonianos tanto para el Helio como para el Hidrógeno no incluyen el término de la Electrodinámica de Maxwell. Los campos magnéticos inducidos por los electrones en rotación simplemente se ignoran.

Combinamos la Electrodinámica y la Mecánica Cuántica para calcular los parámetros exactos de las órbitas.

El Principio de Pauli postula las direcciones de giro de los electrones como arriba y abajo. Este Principio necesita ser postulado en la Mecánica Cuántica, porque contradice tanto la Ley de Conservación de la Energía como la Electrostática. Demostramos que las direcciones reales de los espines son direcciones radiales hacia el centro del núcleo y lejos del centro del núcleo. Nuestro modelo explica el Principio de Pauli, pero no necesita un postulado.

Los momentos orbitales de los electrones en nuestro modelo se alinean a lo largo de los radios de las órbitas de los electrones. Pueden tener direcciones de acercamiento y alejamiento del centro del núcleo. En nuestro modelo, los espines de los electrones se alinean a lo largo de los campos magnéticos creados por el movimiento orbital de los electrones. Los espines de los electrones se comportan de forma similar a una brújula, que se alinea a lo largo del campo magnético más fuerte.

Los complicados espectros de energía de un átomo de Helio tienen una explicación sencilla en los términos de dos tipos de órbitas y dos conjuntos de niveles de energía para el orto y el para Helio.

Utilizamos la Mecánica Cuántica de la misma manera que N. Bohr utilizó para su modelo del átomo de Hidrógeno, pero no utilizamos operadores, por lo que no estamos limitados por las características estadísticas del Principio de Incertidumbre.

En el mismo enfoque que utilizamos para la órbita del átomo de Hidrógeno no necesitamos utilizar el postulado de los orbitales de la Mecánica Cuántica, el postulado de Pauli ni ningún otro postulado.

Introducción &el estado actual del problema.

Los orbitales de la Mecánica Cuántica indican que la máxima densidad de probabilidad de encontrar un electrón en un átomo se encuentra dentro del protón en un átomo de Hidrógeno. La órbita del electrón se calcula como la convolución de la forma del orbital y la forma sugerida experimentalmente de las cáscaras esféricas.

Para un átomo de Helio, ese enfoque no funciona. Por eso, además de la forma circular del orbital de los electrones, no hay ningún cálculo de la forma real del orbital de los electrones en un átomo de Helio.

Los experimentos demuestran que en el caso de un átomo de Helio la diferencia entre el orto-Helio y el para-Helio no se limita a tener espín opuesto. Se trata de diferentes configuraciones orbitales atómicas con diferentes conjuntos de niveles de energía. La naturaleza de esa diferencia no se discute.

En el Proyecto 2, abordaremos estos problemas y discutiremos otras cuestiones.

En la parte anterior, indicamos que para un átomo de Hidrógeno la aproximación diferencial puede producir varios tipos de soluciones. La presencia de un solo electrón hacía bastante difícil elegir una solución correcta para un solo momento dipolar. Dos electrones en un átomo de Helio crean tanto un momento dipolar como cuadrupolar, además de restringir los parámetros de cada parte de la órbita a un solo cuarto de esfera. Combinado con el comportamiento noble en las reacciones químicas, estas condiciones nos dan la oportunidad de encontrar una única solución.

Direcciones de los espines de los electrones.

Primero tenemos que hacer una nota sobre las direcciones de los espines y sobre el término de interacción espín-orbital.

• Los espines individuales de los electrones de un átomo de Helio son iguales a la mitad. El espín total de un átomo de Helio en el estado básico es igual a cero. Desde el punto de vista de las Matemáticas, se trata de una simple tarea de dos vectores, que sólo tiene una solución en el álgebra vectorial. Los vectores de espín deben situarse a lo largo de la misma línea y tener direcciones opuestas. Si estos vectores no están alineados a lo largo de la misma línea recta, su suma no será igual a cero. Estos dos vectores producirán el momento de rotación. Esto significa que en el estado básico de un átomo de Helio, los vectores de espín de ambos electrones deben estar alineados a lo largo de la línea que une sus posiciones. Para el estado singlete, las direcciones de los espines son opuestas. Esta afirmación es estrictamente correcta para los átomos de para-Helio. Para una configuración orto-helio, la situación es un poco más complicada y la analizaremos a continuación.

Veamos a continuación las direcciones de los espines de los electrones.

Figura 2a. La suma de vectores de espín alineados a lo largo de la misma línea en direcciones opuestas da como resultado un espín total igual a cero en nuestro modelo.

Figura 2b. La suma de los vectores arriba y abajo de los espines de los electrones no es igual a cero. La combinación de estos espines da lugar a un nuevo momento de rotación en el modelo, que utiliza el Principio de Pauli.

Los vectores de espín de los electrones tienen una naturaleza magnética. Se comportan de forma similar a una brújula, lo que significa que se disponen a lo largo de un campo magnético más fuerte, creado por el movimiento orbital de los electrones. Esto nos lleva a la conclusión de que los vectores magnéticos de los momentos orbitales en nuestro modelo también deberían estar dirigidos hacia el centro del núcleo.

El viaje continuo de un electrón a lo largo de su trayectoria induce campos magnéticos. En nuestro modelo, se crean cuatro campos magnéticos opuestos en la longitud de una vuelta de la órbita de un electrón. Estos campos son iguales en amplitud.

Atomo de Helio.

Para el átomo de Helio utilizaremos el mismo modelo que utilizamos para el átomo de Hidrógeno. La única diferencia es la doble carga del núcleo y las dos de los electrones en órbita.

La energía de un electrón en movimiento se puede expresar desde la Mecánica Clásica y Cuántica como:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

En esta fórmula $m$ – es la masa del electrón, $v$ – es la velocidad del electrón, $h$ – es la constante de Planck, $f$ – es la frecuencia de una onda del electrón y $n$ es número entero.

La ecuación (1) representa la diferencia entre el «rotador rígido» de la Mecánica Cuántica y nuestro modelo. Consideramos cada partícula con su onda individual, en lugar de dos o tres partículas con una sola onda combinada. En nuestro modelo, las ondas deben interferir entre sí, pero no pueden simplemente sumarse.

Por eso la fórmula (1) se escribe para cada electrón individual y es igual para los átomos de Hidrógeno o Helio.

La longitud de cuatro hemiesferas debe ser igual a:

$L = 4 {\ } \pi {\\} r = n \cdot \lambda$ (2).

La frecuencia de rotación orbital del electrón puede encontrarse como la velocidad del electrón dividida por la longitud de la órbita:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \i {\ }r}$ (3).

La sustitución de la frecuencia de (3) en (1) dará como resultado:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h {\ } \frac {v {\ } n } {4 {\ } \pi {\\} r} = \frac {\hbar {\ } v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

Utilizamos la constante de Planck reducida $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ en la expresión (4a).

Como resultado de la ecuación (4) obtenemos la expresión para el momento orbital del electrón:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

La expresión (4) significa que el momento orbital del electrón es igual al número entero, multiplicado por la constante reducida de Planck. Esta expresión es la misma que obtuvimos para el átomo de Hidrógeno y significa que no necesitamos el postulado del momento orbital para el átomo de Helio. Esta conclusión será importante para otros átomos de la tabla periódica con órbitas de electrones de tipo $s$ en su estructura.

En nuestro análisis de la forma de la órbita de electrones del átomo de Hidrógeno llegamos a la conclusión de que no hay solución numérica para el tipo de órbita, donde los vectores de los campos magnéticos inducidos son paralelos o perpendiculares a los ejes $x, y, z$. Tal configuración de la órbita contradiría el resultado de la ecuación (4).

Solución para la ecuación de Faraday

$\oint E \cdot ds = – \frac{parcial \Phi _{mag}}{parcial t}$ (5)

encontramos en la forma de la trayectoria elíptica del electrón, proyectada sobre la superficie esférica.

Figura 3. Órbita de los electrones para la configuración orto del átomo de Helio.

Figura 4. Órbita de los electrones para la configuración para- del átomo de Helio. El electrón verde se mueve a lo largo de la línea azul. El electrón azul se mueve a lo largo de la línea verde. Esto se hizo para un mejor contraste. Las líneas rectas muestran la dirección de los campos inducidos.

En la para-configuración, la configuración de las órbitas así como las posiciones de los electrones en cualquier momento del tiempo exhiben una simetría esférica de tipo puntual. Esto significa que la línea recta que une las posiciones de los electrones, siempre cruzará el centro del núcleo.

El procedimiento para encontrar los parámetros de la trayectoria de los electrones es el mismo que utilizamos para el átomo de hidrógeno. Tenemos que encontrar los valores de tres parámetros, que definen la trayectoria elíptica de los electrones en el átomo de Helio y expresaremos estos valores en las unidades del radio de la órbita del electrón.

Empezamos con la configuración orto.

Aunque los valores de estos parámetros, expresados en unidades de radio son los similares a las expresiones para el átomo de Hidrógeno, los valores reales para el átomo de Helio son diferentes:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1,414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2,504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

La energía del ion Helio, cuando sólo queda un electrón en la órbita, es la misma que se calculó en el modelo de Bohr:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \silon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Este resultado es bien conocido y no necesita interpretación adicional.

En el caso de un átomo de Helio con dos electrones orbitando el núcleo, comenzamos con los cálculos de la longitud de la órbita.

La longitud de la órbita es igual a:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

En nuestros cálculos utilizamos la fórmula de Ramanujan para la longitud de la elipse.

Estas órbitas tienen tres parámetros $a, b$ y $r$. Como en el caso del átomo de hidrógeno, los valores de los parámetros $a$ y $b$ pueden expresarse en unidades del radio esférico $r$ de la órbita como:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

La función, que representa la trayectoria del electrón, así como la derivada de esta función, son continuas y no presentan singularidades.

Para dos electrones en la superficie de la esfera, existe equilibrio entre la fuerza de Coulomb y la fuerza centrípeta:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \pi {\ }epsilon_0 {\ } r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

La velocidad del electrón puede expresarse a partir de (10) como:

$v = \frac {e^2}{4 {\} \pi {\ } \N -epsilon_0 r {\ }m} } $ (11).

La fórmula (8) garantiza que la expresión para el momento orbital es correcta:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

La combinación de (11) y (12) nos da el radio de la superficie esférica de la órbita del electrón:

$m \cdot r {\ } \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \ ~ -epsilon_0 r {\ }m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\ } \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \N -epsilon_0 r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\} \(15).

$r = \frac {4 {\ } {\ } n^2 \pi {\ } \…epsilon_0… \hbar^2 {\ } n^2}{m {\ } e^2}$ (16).

La energía de dos electrones en la órbita del Helio puede calcularse como:

$E = 2 \cdot \frac {m {\ } v^2}$ (17).

La segunda potencia de la velocidad del electrón puede expresarse a partir de (11) como:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi {\ } \N -epsilon_0 m {\} 4 {\ } \pi {\ } \epsilon_0 {\ } \hbar^2 {\ } n^2} = \frac {e^4} {4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} $ (18).

Utilizamos la expresión (16) para el radio de la órbita del electrón.

De la ecuación (17), el valor de la energía de los estados del electrón sería igual a:

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\ } {\epsilon_0}^2 {\ } h^2 {\ } n^2} = 27,2 eV $ (19).

Este valor es la energía para el estado más bajo del átomo de Helio en la configuración orto. Esta cantidad de energía es necesaria para que un electrón alcance el nivel de ionización. Si marcamos la energía de ionización en el vacío como cero, entonces esta energía debe ser negativa.

La fórmula (27) describe el espectro de los niveles de energía del átomo de Helio en una configuración orto-. Otros niveles de energía del orto- Helio para $n > 1$, así como las transiciones entre ellos deberían ser observables en los espectros del Helio, siempre que el método de excitación tenga en cuenta las transiciones prohibidas por el espín entre el estado para- Helio singlete y los estados excitados del orto- Helio triplete. En condiciones normales con una fuente óptica de excitación, el espectro de las líneas del orto-Helio es prácticamente invisible.

Este estado orto del átomo de Helio no puede ser el estado de tierra, porque tanto el momento orbital como el espín del átomo en este estado no son iguales a cero. Esto significa que el átomo de Helio en este estado sería altamente reactivo y su comportamiento sería similar al de un átomo de Hidrógeno.

El estado básico del gas inercial monoatómico Helio pertenece al paraestado del Helio.

Para-Helio.

La figura 5 de abajo muestra la para-configuración de la órbita de un electrón de un átomo de Helio. Las órbitas de un electrón se muestran en azul y otra en verde. Estas órbitas poseen un punto de simetría en el centro del núcleo. En cualquier momento, dos electrones ocupan posiciones en los lados opuestos del diámetro de las órbitas de los electrones. Las direcciones de los momentos orbitales, así como las direcciones de los campos magnéticos inducidos están indicadas por cuatro líneas rojas para un electrón y por cuatro líneas verdes para otro electrón. El ángulo entre dos líneas cualesquiera del mismo color es de aproximadamente 109,47 grados. Las direcciones de dos momentos y dos campos magnéticos para cada electrón son hacia el centro de la esfera y otros dos vectores tienen direcciones alejadas del centro de la esfera.

Figura 5. Órbitas de los electrones de un átomo de Helio en la configuración para-.

La figura 5 muestra las órbitas de los electrones en la para-configuración de un átomo de Helio. Los electrones verdes y azules están situados en lados opuestos del diámetro de su órbita. Sus órbitas son simétricas respecto a la posición del protón. Las direcciones del campo magnético inducido se muestran como las líneas verdes y azules.

Para la para-configuración de una órbita de electrones el espín total, los momentos orbitales así como las integrales del campo eléctrico y del campo magnético inducido son iguales a cero.

Como resultado, un átomo de Helio en la para-configuración de la órbita ocupa un estado energético estable y no se necesita ninguna interacción externa para compensar los momentos orbitales y los campos de espín no equilibrados. Esa es la razón por la que los átomos de Helio en la para-configuración son nobles, inerciales & gas monoatómico.

Para encontrar el valor de la energía en la para-configuración, necesitamos multiplicar el valor de la energía de un electrón en una configuración orto por el coeficiente del vector estérico (ver siguiente párrafo):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,909 $ (20).

La energía del estado básico de un átomo de Helio es igual a la energía del estado más bajo en la configuración para-:

$E_0 = 27,2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Este resultado coincide con el valor experimental de la energía de ionización del primer electrón de un átomo de Helio, que es igual a $E_{ionización} = 24,6 eV$. La diferencia de energías de aproximadamente $\Delta E = 0,1 eV$ debe atribuirse a la interacción espín-espín.

Aunque en el estado básico, un átomo de Helio existe sólo en la configuración para-. Los estados excitados de ambas configuraciones pueden observarse en los datos espectrales, aunque las transiciones entre estos dos estados no pueden observarse en el caso de la excitación óptica porque están prohibidas por el espín. La excitación de electrones resolvería ese problema y sería posible observar los niveles de ambos estados.

Cálculos del coeficiente vectorial estérico para el para-Helio.

En nuestros cálculos del momento orbital de los electrones, utilizamos el principio de independencia de las componentes ortogonales del movimiento de un electrón. Sin una declaración especial, asumimos que las componentes que son ortogonales a la componente orbital, no aportan nada a la energía total de los electrones en un átomo de Helio. Calculamos la energía de dos sistemas de electrones como si la energía total se combinara como una función escalar del radio de la órbita y despreciáramos el carácter vectorial de las componentes angulares de la trayectoria de los electrones.

Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, este enfoque parece justificado, porque dos electrones en un átomo de Helio están posicionados en los extremos opuestos del diámetro de sus órbitas. El mismo argumento podría decirse para la Mecánica Cuántica, que representa a los electrones como una nube distribuida, donde las posiciones de cada electrón no pueden ser definidas o determinadas.

Pero nuestros cálculos se basan en la Electrodinámica.

La energía de un electrón en un campo eléctrico puede calcularse como el potencial de campo multiplicado por la carga del electrón:

$Energía = E \cdot e$ (22).

Esta expresión describe la energía potencial. Se convertirá en la energía del electrón después de que éste recorra la distancia a lo largo del campo con dicho potencial.

De acuerdo con la fórmula de Faraday, el campo magnético inducido por las cargas en movimiento es igual a:

$\a E \cdot ds = – \frac{parcialmente \hi _{mag}}{parcialmente t}$ (23).

Esta fórmula de Faraday nos da la posibilidad de producir las reglas de adición de expresiones vectoriales, que son proporcionales a las energías de cada electrón. En lugar de una integral tridimensional de un campo eléctrico, encontraremos la suma de los vectores de los campos magnéticos inducidos para el primer electrón y el vector del campo magnético inducido para el segundo electrón porque estos valores están en proporción directa. Luego utilizaremos el coeficiente estérico que encontramos para los vectores magnéticos inducidos para combinar la energía de los electrones.

El valor de la energía para cada electrón en la ecuación (24) es igual a la mitad de la energía total, que encontramos para la configuración orto del átomo de Helio:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

La energía de dos sistemas de electrones será igual a la energía del primer electrón más la energía del segundo electrón, multiplicada por el coeficiente del vector estérico:

$Energía = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Los campos magnéticos inducidos para cada electrón en un átomo de Helio tienen la geometría del cubo con los ángulos de 109,47 grados entre las direcciones de los campos magnéticos inducidos. Esto significa que cada vector del campo magnético inducido puede ser representado por una línea desde el centro del cubo hasta una esquina no adyacente del mismo:

La figura 6. ilustra el caso para dos electrones con sus órbitas que tienen simetría puntual en el centro del cubo.

La esfera roja representa el núcleo del Helio. Las líneas rojas muestran la dirección del campo magnético inducido para un electrón. Las líneas verdes muestran la dirección de los campos magnéticos inducidos para el otro electrón. De los cuatro vectores para cada electrón, dos vectores tienen dirección hacia el núcleo y los otros dos vectores tienen dirección hacia la esquina del cubo.

El coeficiente estérico se puede calcular a partir de la figura 6. Si suponemos que la longitud del lado del cubo como 2a unidad, entonces la longitud de las diagonales AO y BO sería igual a:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

La media suma de estos dos momentos o la línea OC tiene la longitud:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Significa que para sumar el vector momento de un segundo electrón al vector del primer electrón es necesario multiplicar el vector del segundo electrón por el coeficiente estérico:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (27).

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