Hagamos un problema que implique el coste marginal. En concreto, quiero averiguar cómo se compara el coste marginal con el coste de producir un artículo más. Veamos nuestro ejemplo del monopatín. Supongamos que C(x) es el coste total de producir x monopatines. Esta es nuestra función de coste; C(x) es 1800 más 10x más 0,02x². Por supuesto, el coste va a ser en dólares.
Haremos tres cosas. Encontraremos la función de coste marginal, que es simplemente C'(x). B; encontraremos el c'(500) y daremos las unidades. En la parte c, encontraremos el coste real de producir el monopatín 501, y lo compararemos con nuestra respuesta de la parte superior b.
Queremos ver realmente cómo de buena es la aproximación del coste marginal para producir ese monopatín 501. Así que la primera parte a; encontrar la función de coste marginal. Lo más importante a recordar sobre el costo marginal es que es sólo la derivada de cot. Así que el costo marginal va a ser C'(x). Eso va a ser bien la derivada de 1800 es 0, la derivada de 10x es 10 más, la derivada de 0,02x² es 2 veces 0,02, 0,04x. Eso es bastante fácil. Así que esta es mi función de costo marginal.
Parte b; encontrar el costo marginal a 500, y dar unidades. Así que sólo voy a enchufar 500 en esta función. C'(500) es 10 más 0,04 veces 500. Ahora 0,04 veces 500, siempre que estoy multiplicando por decimales, puedo pensar en esto como multiplicar por 4 y luego dividir por 100. Multiplicar por 4 me da 2.000. Dividiendo por 100 me da 20. 20 y 10 es 30. Así que eso es 30, y ¿cuáles son las unidades?
Recordemos que C'(500) es en realidad lo mismo que dc/dx. Así que puedo escribir c'(x) de esta forma. Cuando se escribe la derivada de esta forma, es mucho más fácil ver cuáles serían las unidades. Unidades de la función de coste divididas por unidades de x. La función de coste tiene unidades de dólares. X es sólo el número de monopatines, así que esto sería dólares por monopatín, y eso es lo que tenemos aquí; dólares por monopatín. Así que esa es una buena manera de obtener las unidades para una derivada era mirar la forma.
En la parte c, queremos encontrar el costo real de la 501st. Permítanme esbozar lo que voy a hacer aquí. El costo real va a ser C(501) menos c(500). Veamos que este es un cálculo mucho más complicado que el que acabamos de hacer, pero nos dará el costo real de la patineta 501. Así que vamos a tomar este cálculo aquí a la derecha.
Así que necesito C(501) menos C(500). Déjame calcular cada uno de ellos por separado. Primero C(501). Esta es mi función de costo. Es 1800 más 10 veces 501 más 0,02 501². Así que 1800 más 10 veces 501 es 5.010 más 0,02 veces 501² es 251.001. Entonces tengo que multiplicar esto por 0,02. Eso es lo mismo que multiplicar por 2, y dividir por 100. Multiplicar por 2 me daría 502.002. Dividiendo por 100 me daría eso. Así que más 5.010 más 1800. Ahora sumando todo esto, noto que tengo 10.000, 30 y 2 céntimos. Más 1800 es 11,832, y 2 centavos. Ese es mi costo a 501 patinetas.
¿Cuál es mi costo a 500? Tengo que usar esta función de nuevo 1.800 más 10 veces 500 más 0,02 veces 500². Eso es sólo 1.800 más 5.000 más 500² es 250.000 veces 0,02 de nuevo multiplicar por 2.500.000, y dividir por un 100 significa que puse un punto decimal allí. Así que esto es 5.000 más otros 5.000 más 1800. Esto me va a dar 11,800.
Ahora la diferencia C(501) menos C(500) va a ser de 30 dólares, y 2 centavos. Ahora este es el costo real de producir la patineta 501. Mira todo el trabajo que acabo de hacer sólo para encontrar que el costo real es de $ 30, y 2 centavos. Ese es el costo real de esa patineta 501.
Mi aproximación usando el costo marginal aquí fue de $30 por patineta. Esto fue mucho más fácil de calcular también. Así que este es el valor del coste marginal. Tome la derivada, enchufe en 500, y se obtiene una aproximación muy precisa del costo de un monopatín más, frente a este cálculo hizo aquí que me tomó la mitad de la tabla. Así que el coste marginal es un concepto realmente valioso. Te da una estimación muy rápida también del costo de producir una patineta más.