Es una vez más el Día de Pi (14 de marzo-que es como los primeros dígitos de pi: 3 y 14). Antes de entrar en la celebración de pi de este año, permítanme resumir algunas de las cosas más importantes sobre este impresionante número.

• Fuera de los Estados Unidos, el Día de Pi debería ser probablemente el 22 de julio (22/7)-esta fracción es una estimación sorprendentemente buena de pi.
• Puedes encontrar el valor de pi con una masa y un resorte.
• El valor de pi está relacionado con el campo gravitatorio local.
• Puedes encontrar el valor de pi usando números aleatorios (este es mi favorito).
• Y finalmente, hay una relación entre pi, e, 1, 0 e i (el número imaginario).

Pero hoy, voy a calcular pi con una integral numérica. ¿Qué significa eso? Déjame empezar con un ejemplo: ¿cómo encontrar el área de un medio círculo?

El área de un círculo es pi por el radio al cuadrado. Se trata de la mitad de un círculo de radio 1 (sin unidades) tal que tendría un área de pi/2. Si hallo el área con algún otro método, puedo simplemente multiplicar esta área por 2 y obtener pi. Ese es el plan.

¿Pero cómo encontrar el área de alguna forma -o de cualquier forma-? Aquí es donde el cálculo resulta útil. Puedo encontrar el área del semicírculo sumando el área de un montón de rectángulos. Resulta que es bastante fácil encontrar el área de un rectángulo. Déjame que dibuje unos cuantos rectángulos en ese semicírculo para que veas lo que quiero decir.

El área de cada uno de estos rectángulos delgados se puede encontrar con la fórmula «base por altura». Un rectángulo tiene una altura de «y» y una base de «dx», donde dx es una longitud arbitraria a lo largo del eje x. Puedo encontrar el valor real de la altura porque la parte superior del rectángulo toca el círculo donde esta altura se puede encontrar a partir de la ecuación de un círculo.

Ahora sólo tengo que sumar todos estos rectángulos-boom, que es el área de medio círculo. Puedo escribirlo como una suma de áreas así:

¡Pero espera! ¿No es esto una mala aproximación al área real de un círculo (semicírculo)? Sí, es cierto, pero depende de la anchura de estos pequeños rectángulos de área. De hecho, si tomo el límite cuando la anchura (dx) llega a cero, obtendré el área exacta. Esta es la definición de la integral en el cálculo, pero la dejaré para otro día. En su lugar, haremos un cálculo numérico simplemente sumando el área de un grupo de rectángulos. Por supuesto, podrías hacerlo a mano, pero podría resultar aburrido. En su lugar, vamos a hacerlo con un programa de ordenador. Sip.

Aquí está el cálculo numérico en python. Puedes seguir adelante y ejecutar el código pulsando el botón «play», pero voy a dar algunos comentarios de código a continuación.

Puedes cambiar el código si te hace feliz-aquí hay algunas cosas a tener en cuenta.

• Este es un cálculo numérico. Eso significa que el programa sólo trata con números. Técnicamente, el área debería tener unidades de m2 o algo así, pero aquí no. Sólo números.
• Para los bucles en python, incluye todo lo que tiene tabulador como parte del bucle. Una vez que se desentinta, ya no está en un bucle.
• La línea 18 debe parecer rara porque lo es. Si consideras que esto es una ecuación algebraica, la A debería cancelarse ya que está en ambos lados de la ecuación-pero esto no es una ecuación. En python (y en la mayoría de los lenguajes), el «=» significa «hacer igual a». Esta línea toma el valor antiguo de A, añade lo nuevo y lo convierte en el nuevo valor de A.

Este cálculo inicial tiene un dx de 0,1. Eso significa que sólo habrá 20 rectángulos para sumar y obtener el área del semicírculo. Con esto, obtengo un valor aproximado de pi de 3,10452-que claramente no es pi exacto. Por supuesto, puedo hacer una mejor estimación haciendo rectángulos de menor anchura. Debería probar esto cambiando el código de arriba (pista: cambiar el valor de dx). Sin embargo, como no puedo dejar pasar esto, aquí hay un gráfico del valor de pi para diferentes tamaños de paso.

Quizás no sea el mejor gráfico, pero es suficiente por ahora. Si quieres ver el código de este gráfico, aquí tienes. Pero al final, el valor se acerca al valor esperado de pi. Puede que con este método no consigas un millón de dígitos de pi, pero quizás al menos puedas aprender algo sobre la integración.