La integración y la diferenciación son dos conceptos muy importantes en el cálculo. Se utilizan para estudiar el cambio. El cálculo tiene una gran variedad de aplicaciones en muchos campos de la ciencia y de la economía. También podemos encontrar el cálculo en las finanzas, así como en el análisis del mercado de valores. En este artículo, tendremos algunas fórmulas de diferenciación e integración con ejemplos. Vamos a aprender el concepto interesante!
Fórmula de diferenciación e integración
¿Qué es la diferenciación?
La diferenciación es el procedimiento algebraico de calcular las derivadas. La derivada de una función es la pendiente o el gradiente de la gráfica dada en un punto cualquiera. El gradiente de una curva en un punto dado es el valor de la tangente dibujada a esa curva en el punto dado. En el caso de las curvas no lineales, el gradiente de la curva varía en diferentes puntos a lo largo del eje. Por lo tanto, es difícil calcular el gradiente en tales casos.
También se define como el cambio de una propiedad con respecto a un cambio unitario de otra propiedad.
(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x})
es una medida de la tasa de cambio de f(x), con respecto a x.
Y el valor límite de esta razón, a medida que \(\Delta\) x tiende a cero,
es decir, \(\lim_{Delta x\}a 0} \frac{f(x)}{Delta x})
se llama la primera derivada de la función f(x).
¿Qué es la integración?
La integración es el proceso para calcular integrales definidas o indefinidas. Para alguna función f(x) y un intervalo cerrado en la recta real,
la integral definida,
(\int_{a}^{b} f(x)\\Ndx \N)
es el área entre la gráfica de la función, el eje horizontal y las dos rectas verticales. Estas dos líneas estarán en los puntos extremos de un intervalo.
Cuando no se da un intervalo específico, entonces se conoce como integral indefinida.
Calcularemos la integral definida utilizando antiderivadas. Por lo tanto, la integración es el proceso inverso de la diferenciación.
Recuerda que la diferenciación calcula la pendiente de una curva, mientras que la integración calcula el área bajo la curva, por otro lado, la integración es el proceso inverso de la misma.
Algunas fórmulas básicas de diferenciación
(1) \frac{d}{dx}(c)\frac) = 0 , c es una constante.
(2) \frac{d}{dx}(x)\f = 1
(3) \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \4000>
(4) \frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \4000>
(6) \frac{dx(uv)=udvdx+vdudx \4000>
(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u{frac{d}{dx}v+v{frac{d}{dx})u esto es Regla del producto
Algunas fórmulas básicas de integración
(1) \(\int 1\; dx = x+c \N)
(2) \N(\Nint m \N;dx = mx + c \N)
(3) \N(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \N)
(4) \N(\int sinx \N;dx = -cos x +c \N)
(5) \N-int cos x \N;dx = sin x + c \N)
(6) \N-int sec^2 x \N-;dx = tan x +c \N)
(7) \Nint \frac{1}{x} \N; dx = ln\; x + c \N)
(8) \Nint e^x \N -;dx = e^x + c \)
(9) \N(int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)
Ejemplos resueltos para ti
Q.1: ¿Qué es \N(\frac{d}{dx} x^5\)?
Solución: Aplicamos la fórmula
(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Aquí n=5, Así
La solución es \(5x^4 \)
.