Historia de los logaritmos
La invención de los logaritmos fue presagiada por la comparación de las secuencias aritméticas y geométricas. En una secuencia geométrica cada término forma una relación constante con su sucesor; por ejemplo, …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… tiene una relación común de 10. En una secuencia aritmética cada término sucesivo difiere en una constante, conocida como diferencia común; por ejemplo, …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… tiene una diferencia común de 1. Obsérvese que una secuencia geométrica puede escribirse en términos de su razón común; para la secuencia geométrica de ejemplo dada anteriormente: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Multiplicar dos números de la sucesión geométrica, por ejemplo 1/10 y 100, equivale a sumar los correspondientes exponentes de la razón común, -1 y 2, para obtener 101 = 10. Así, la multiplicación se transforma en suma. Sin embargo, la comparación original entre las dos series no se basaba en ningún uso explícito de la notación exponencial; ésta fue un desarrollo posterior. En 1620, el matemático suizo Joost Bürgi publicó en Praga la primera tabla basada en el concepto de relacionar secuencias geométricas y aritméticas.
El matemático escocés John Napier publicó su descubrimiento de los logaritmos en 1614. Su propósito era ayudar en la multiplicación de cantidades que entonces se llamaban senos. El seno entero era el valor del lado de un triángulo rectángulo con una hipotenusa grande. (La hipotenusa original de Napier era 107.) Su definición se dio en términos de tasas relativas.
El logaritmo, por lo tanto, de cualquier seno es un número que expresa muy neamente la línea que aumentó igualmente en el tiempo meene mientras que la línea del seno entero disminuyó proporcionalmente en ese seno, siendo ambos movimientos de igual tiempo y el comienzo igualmente desplazado.
En colaboración con el matemático inglés Henry Briggs, Napier ajustó su logaritmo a su forma moderna. Para el logaritmo de Napier la comparación sería entre puntos que se mueven en una línea recta graduada, el punto L (para el logaritmo) moviéndose uniformemente de menos infinito a más infinito, el punto X (para el seno) moviéndose de cero a infinito a una velocidad proporcional a su distancia de cero. Además, L es cero cuando X es uno y su velocidad es igual en este punto. La esencia del descubrimiento de Napier es que esto constituye una generalización de la relación entre las series aritméticas y geométricas; es decir, la multiplicación y la elevación a una potencia de los valores del punto X corresponden a la suma y la multiplicación de los valores del punto L, respectivamente. En la práctica es conveniente limitar el movimiento de L y X mediante el requisito de que L = 1 en X = 10, además de la condición de que X = 1 en L = 0. Este cambio produjo el logaritmo briggsiano, o común.
Napier murió en 1617 y Briggs continuó solo, publicando en 1624 una tabla de logaritmos calculados con 14 decimales para números de 1 a 20.000 y de 90.000 a 100.000. En 1628 el editor holandés Adriaan Vlacq sacó una tabla de 10 posiciones para los valores de 1 a 100.000, añadiendo los 70.000 valores que faltaban. Tanto Briggs como Vlacq se dedicaron a establecer tablas trigonométricas logarítmicas. Estas primeras tablas eran de una centésima de grado o de un minuto de arco. En el siglo XVIII, se publicaron tablas para intervalos de 10 segundos, que eran convenientes para las tablas de siete decimales. En general, se requieren intervalos más finos para calcular funciones logarítmicas de números más pequeños-por ejemplo, en el cálculo de las funciones log sen x y log tan x.
La disponibilidad de los logaritmos influyó mucho en la forma de la trigonometría plana y esférica. Los procedimientos de la trigonometría se refundieron para producir fórmulas en las que las operaciones que dependen de los logaritmos se realizan de una sola vez. El recurso a las tablas consistía entonces en sólo dos pasos, la obtención de logaritmos y, tras realizar cálculos con los logaritmos, la obtención de antilogaritmos.
Francis J. Murray