Definición: Un triángulo es una figura cerrada formada por tres segmentos de línea.

Un triángulo está formado por tres segmentos de línea y tres ángulos. En la figura anterior, AB, BC, CA son los tres segmentos de línea y ∠A, ∠B, ∠C son los tres ángulos.

Hay tres tipos de triángulos basados en los lados y tres basados en los ángulos.

Tipos de triángulos basados en los lados

Triángulo equilátero: Un triángulo que tiene los tres lados de igual longitud es un triángulo equilátero.

Como todos los lados son iguales, todos los ángulos también lo son.

Triángulo isósceles: Un triángulo que tiene dos lados de igual longitud es un triángulo isósceles.

Los dos ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

Triángulo escaleno: Un triángulo que tiene tres lados de diferente longitud se llama triángulo escaleno.

Tipos de triángulos basados en los ángulos

Triángulo acutado: Un triángulo cuyos todos los ángulos son agudos se llama triángulo acutado o triángulo agudo.

Triángulo obtuso: Un triángulo cuyo uno de los ángulos es obtuso es un triángulo obtuso o triángulo obtuso.

Triángulo rectángulo: Un triángulo cuyo ángulo es recto es un triángulo rectángulo o triángulo rectángulo.

En la figura anterior, el lado opuesto al ángulo recto, BC se llama hipotenusa.

Para un triángulo rectángulo ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Esto se llama el Teorema de Pitágoras.

En el triángulo anterior, 52 = 42 + 32. Sólo un triángulo que satisface esta condición es un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras ayuda a encontrar si un triángulo es rectángulo.

Tipos de triángulos

Hay diferentes tipos de triángulos rectángulos. Por ahora, nos centramos sólo en un par especial de triángulos rectángulos.

1. Triángulo 45-45-90
2. Triángulo 30-60-90

Triángulo 45-45-90:

Un triángulo 45-45-90, como su nombre indica, es un triángulo rectángulo en el que los otros dos ángulos tienen 45° cada uno.

Se trata de un triángulo rectángulo isósceles.

En ∆ DEF, DE = DF y ∠D = 90°.

Los lados de un triángulo 45-45-90 están en la proporción 1 : 1 : √2.
Triángulo 30-60-90:

Un triángulo 30-60-90, como su nombre indica, es un triángulo rectángulo en el que los otros dos ángulos son de 30° y 60°.

Se trata de un triángulo rectángulo escaleno ya que ninguno de los lados ni de los ángulos son iguales.

Los lados de un triángulo 30-60-90 están en la proporción 1 : √3 : 2

Como cualquier otro triángulo rectángulo, estos dos triángulos satisfacen el Teorema de Pitágoras.

Propiedades básicas de los triángulos

• La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Esto se llama la propiedad de la suma de ángulos.
• La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Del mismo modo, la diferencia entre las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es menor que la longitud del tercer lado.
• El lado opuesto al ángulo mayor es el lado más largo del triángulo y el lado opuesto al ángulo menor es el lado más corto del triángulo.


En la figura anterior, ∠B es el ángulo mayor y el lado opuesto a él (hipotenusa), es el lado mayor del triángulo.



En la figura anterior, ∠A es el ángulo mayor y el lado opuesto a él, BC es el lado mayor del triángulo.

• Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos opuestos interiores. Esto se llama la propiedad del ángulo exterior de un triángulo.


Aquí, ∠ACD es el ángulo exterior al ∆ABC.

De acuerdo con la propiedad del ángulo exterior, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similitud y congruencia en triángulos

Las figuras con el mismo tamaño y forma son figuras congruentes. Si dos figuras son congruentes, siguen siendo congruentes aunque se muevan o giren. Las figuras también seguirán siendo congruentes si las reflejamos produciendo imágenes especulares. Dos formas geométricas son congruentes si se cubren exactamente.

Las figuras con la misma forma pero con tamaños proporcionales son figuras similares. Siguen siendo similares aunque se muevan o giren.

Similitud de triángulos

Se dice que dos triángulos son similares si los ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Se escribe como ∆ ABC ∼ ∆ XYZ y se dice como ∆ ABC ‘es similar a’ ∆ XYZ.

Aquí, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y y ∠C = ∠Z Y

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean semejantes son las siguientes:
(1) Criterio de similitud lado-lado-lado (SSS):

Si tres lados de un triángulo son proporcionales a los correspondientes tres lados de otro triángulo entonces se dice que los triángulos son semejantes.

Aquí, ∆ PQR ∼ ∆ DEF como

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Criterio de similitud Lado-Angulo-Lado (SAS):

Si los dos lados correspondientes de los dos triángulos son proporcionales y un ángulo incluido es igual al correspondiente ángulo incluido de otro triángulo entonces los triángulos son similares.

Aquí, ∆ LMN ∼ ∆ QRS en el que

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Criterio de similitud Ángulo-Angulo (AAA):

Si los tres ángulos correspondientes de los dos triángulos son iguales entonces los dos triángulos son semejantes.

Aquí ∆ TUV ∼ ∆ PQR como

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q y ∠V = ∠R

Congruencia de triángulos

Se dice que dos triángulos son congruentes si todos los lados de un triángulo son iguales a los lados correspondientes de otro triángulo y los ángulos correspondientes son iguales.

Se escribe como ∆ ABC ≅ ∆ XYZ y se dice como ∆ ABC ‘es congruente con’ ∆ XYZ.

Las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean congruentes son las siguientes:
(1) Criterio de lado-lado-lado (SSS) para la congruencia:

Si tres lados de un triángulo son iguales a los correspondientes tres lados de otro triángulo entonces se dice que los triángulos son congruentes.

Aquí, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ ya que AB = XY, BC = YZ y AC = XZ.
(2) Criterio lado-ángulo-lado (SAS) de congruencia:

Si dos lados y el ángulo incluido entre los dos lados de un triángulo son iguales a los correspondientes dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Aquí, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ ya que AB = XY, ∠A = ∠X y AC = XZ.
(3) Criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo (ASA): Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son iguales a los correspondientes dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo entonces los triángulos son congruentes.

En la figura anterior, ∆ ABD ≅ ∆ CBD en la que

∠ABD = ∠CBD, AB = CB y ∠ADB = ∠CDB.
(4) Criterio de congruencia de la hipotenusa del ángulo recto: Si la hipotenusa y un lado de un triángulo rectángulo son iguales a la correspondiente hipotenusa y lado de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Aquí, ∠B = ∠Y = 90° y AB = XY, AC = XZ.

Área de un triángulo:

El Área de un triángulo viene dada por la fórmula

Área de un triángulo = (1/2) *Base * Altura

Para hallar el área de un triángulo, trazamos una recta perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto que da la altura del triángulo.

Así que el área del ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 unidades cuadradas.

Para un triángulo rectángulo, es fácil hallar el área ya que hay un lado perpendicular a la base, por lo que podemos considerarlo como altura.

La altura del ∆ XYZ es XY y su área es (1/2) * XZ * XY unidades cuadradas.

Ahora, ¿cómo hallamos el área de un triángulo obtuso LMN?

Para un triángulo obtuso, extendemos la base y trazamos una línea perpendicular desde el vértice a la base extendida que se convierte en la altura del triángulo.

Por tanto, el área del ∆ LMN = (1/2) * LM * NK unidades cuadradas. unidades.

Resuelve lo siguiente

1)

∆ ABC es un triángulo rectángulo y CD ⊥ AB (⊥ significa ‘perpendicular’).

Halla i) ∠ACD y ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Respuesta: C

Explicación:

Considera ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

En ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (de nuevo, suma de todos los ángulos de un triángulo)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Determina si los siguientes son triángulos rectángulos

A. Ambos son triángulos rectos
B. ∆ ABC no es un triángulo rectángulo, ∆ DEF es un triángulo rectángulo
C. ∆ ABC es un triángulo rectángulo, ∆ DEF no es un triángulo rectángulo
D. Ambos no son triángulos rectos

Respuesta: B

Explicación:

El triplete que satisface el teorema de Pitágoras es el conjunto de lados que forman un triángulo rectángulo.

3)

Si ∆ ABC = 3 (∆ DEF), ¿cuál de las siguientes es correcta?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° Y DE = DF = 2 y EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° Y DE = DF = 2 y EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° Y DE = DF = 2 y EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° Y DE = DF = 3 y EF = 3

Respuesta: C

Explicación:

AB y AC son iguales → los ángulos opuestos son iguales.

Por lo tanto ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC y ∆ DEF son similares.