Vector, en matemáticas, cantidad que tiene magnitud y dirección pero no posición. Ejemplos de tales cantidades son la velocidad y la aceleración. En su forma moderna, los vectores aparecieron a finales del siglo XIX, cuando Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside (de Estados Unidos y Gran Bretaña, respectivamente) desarrollaron independientemente el análisis vectorial para expresar las nuevas leyes del electromagnetismo descubiertas por el físico escocés James Clerk Maxwell. Desde entonces, los vectores se han convertido en algo esencial en la física, la mecánica, la ingeniería eléctrica y otras ciencias para describir las fuerzas matemáticamente.
Los vectores pueden visualizarse como segmentos de línea dirigidos cuyas longitudes son sus magnitudes. Dado que sólo importan la magnitud y la dirección de un vector, cualquier segmento dirigido puede sustituirse por otro de la misma longitud y dirección pero que comience en otro punto, como el origen de un sistema de coordenadas. Los vectores suelen indicarse con una letra en negrita, como v. La magnitud, o longitud, de un vector se indica con |v|, o v, que representa una cantidad unidimensional (como un número ordinario) conocida como escalar. Multiplicar un vector por un escalar cambia la longitud del vector pero no su dirección, excepto que multiplicar por un número negativo invertirá la dirección de la flecha del vector. Por ejemplo, multiplicar un vector por 1/2 dará como resultado un vector la mitad de largo en la misma dirección, mientras que multiplicar un vector por -2 dará como resultado un vector el doble de largo pero apuntando en la dirección opuesta.
Dos vectores se pueden sumar o restar. Por ejemplo, para sumar o restar vectores v y w gráficamente (ver el diagrama), mueve cada uno al origen y completa el paralelogramo formado por los dos vectores; v + w es entonces un vector diagonal del paralelogramo, y v – w es el otro vector diagonal.
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Hay dos formas diferentes de multiplicar dos vectores juntos. El producto cruzado, o vectorial, da como resultado otro vector que se denota como v × w. La magnitud del producto cruzado viene dada por |v × w| = vw sin θ, donde θ es el ángulo menor entre los vectores (con sus «colas» colocadas juntas). La dirección de v × w es perpendicular tanto a v como a w, y su dirección puede visualizarse con la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura. El producto cruzado se utiliza con frecuencia para obtener una «normal» (una línea perpendicular) a una superficie en algún punto, y se da en el cálculo del par de torsión y de la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento.
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La otra forma de multiplicar dos vectores juntos se llama producto punto, o a veces producto escalar porque da como resultado un escalar. El producto punto viene dado por v ∙ w = vw cos θ, donde θ es el ángulo menor entre los vectores. El producto punto se utiliza para encontrar el ángulo entre dos vectores. (Tenga en cuenta que el producto punto es cero cuando los vectores son perpendiculares.) Una aplicación física típica es encontrar el trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa sobre un objeto en movimiento d; el trabajo está dado por W = Fd cos θ.