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Cos’è la combinazione in matematica?

Una disposizione di oggetti in cui l’ordine non è importante è chiamata combinazione. Questo è diverso dalla permutazione in cui l’ordine è importante. Per esempio, supponiamo di disporre le lettere A, B e C. In una permutazione, la disposizione ABC e ACB sono diverse. Ma, in una combinazione, le disposizioni ABC e ACB sono le stesse perché l’ordine non è importante.

Qual è la formula della combinazione?

Il numero di combinazioni di n cose prese r alla volta si scrive come C(n, r).

Il seguente diagramma mostra la formula della combinazione. Scorri la pagina per altri esempi e soluzioni su come usare la formula di combinazione.

Se non hai familiarità con la n! (notazione fattoriale n) allora dai un’occhiata alla lezione fattoriale

Come usare la formula di combinazione per risolvere problemi di parole?

Esempio:
In quanti modi un allenatore può scegliere tre nuotatori tra cinque?

Soluzione:
Ci sono 5 nuotatori da prendere 3 alla volta.
Utilizzando la formula:

L’allenatore può scegliere i nuotatori in 10 modi.

Esempio:
Sei amici vogliono giocare abbastanza partite a scacchi per essere sicuri che ognuno giochi tutti gli altri. Quante partite dovranno giocare?

Soluzione:
Ci sono 6 giocatori da prendere 2 alla volta.
Utilizzando la formula:

avranno bisogno di giocare 15 partite.

Esempio:
In una lotteria, ogni biglietto ha 5 numeri di una cifra 0-9 su di esso.
a) Si vince se il biglietto ha le cifre in qualsiasi ordine. Quali sono le tue probabilità di vincere?
b) Vinceresti solo se il tuo biglietto ha le cifre nell’ordine richiesto. Quali sono le tue probabilità di vincere?

Soluzione:
Ci sono 10 cifre da prendere 5 alla volta.

a) Usando la formula:

Le probabilità di vincere sono 1 su 252.

b) Poiché l’ordine conta, dovremmo usare la permutazione invece della combinazione.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

Le probabilità di vincere sono 1 su 30240.

Come valutare le combinazioni e risolvere i problemi di conteggio usando le combinazioni? Per una combinazione, l’ordine non ha importanza.

Quanti comitati di 3 possono essere formati da un gruppo di 4 studenti?
Questa è una combinazione e può essere scritta come C(4,3) o 4C3 o \left( \begin{array}{*{20}{c}4\3end{array}} \right)\).

Esempi:

1. La squadra di calcio ha 20 giocatori. Ci sono sempre 11 giocatori in campo. Quanti gruppi diversi di giocatori possono essere in campo in qualsiasi momento?
2. Uno studente ha bisogno di altre 8 classi per completare la sua laurea. Se ha soddisfatto i prerequisiti per tutti i corsi, in quanti modi può prendere 4 classi il prossimo semestre?
3. Ci sono 4 uomini e 5 donne in un piccolo ufficio. Il cliente vuole una visita in loco da un gruppo di 2 uomini e 2 donne. Quanti gruppi diversi possono essere formati dall’ufficio?

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Come risolvere i problemi di combinazione che implicano la selezione di gruppi basati su criteri condizionali?

Esempio: Un secchio contiene le seguenti biglie: 4 rosse, 3 blu, 4 verdi e 3 gialle per un totale di 14 biglie. Ogni biglia è etichettata con un numero in modo da poterle distinguere.

1. Quanti insiemi/gruppi di 4 biglie sono possibili?
2. Quanti insiemi/gruppi di 4 sono tali che ognuno è di un colore diverso?
3. Quanti insiemi di 4 ci sono in cui almeno 2 sono rossi?
4. Quanti insiemi di 4 ci sono in cui nessuno è rosso, ma almeno uno è verde?

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Come risolvere i problemi di parole che coinvolgono permutazioni e combinazioni?

Esempi:

1. Un museo ha 7 dipinti di Picasso e vuole disporre 3 di essi sulla stessa parete. Quanti modi ci sono per farlo?
2. In quanti modi si possono disporre le lettere della parola LOLLIPOP?
3. Una persona che gioca a poker riceve 5 carte. Quante mani diverse potrebbero essere state distribuite al giocatore?

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