Facciamo un problema che coinvolge il costo marginale. In particolare voglio scoprire come il costo marginale si confronta effettivamente con il costo di produzione di un articolo in più. Diamo un’occhiata al nostro esempio dello skateboard. Supponiamo che C(x) sia il costo totale della produzione di x skateboard. Questa è la nostra funzione di costo; C(x) è 1800 più 10x più 0,02x². Naturalmente il costo sarà in dollari.
Faremo tre cose. Troveremo la funzione di costo marginale, che è solo C'(x). B; troveremo il c'(500) e daremo le unità. Nella parte c, troveremo il costo effettivo della produzione del 501° skateboard, e lo confronteremo con la nostra risposta nella parte superiore b.
Vogliamo vedere quanto è buona l’approssimazione del costo marginale per produrre il 501° skateboard. Quindi prima parte a; trovare la funzione di costo marginale. La cosa più importante da ricordare sul costo marginale è che è solo la derivata di cot. Quindi il costo marginale sarà C'(x). Che sarà beh la derivata di 1800 è 0, la derivata di 10x è 10 più, la derivata di 0.02x² è 2 volte 0.02, 0.04x. Questo è abbastanza facile. Quindi questa è la mia funzione di costo marginale.
Parte b; trovare il costo marginale a 500, e dare le unità. Quindi inserirò 500 in questa funzione. C'(500) è 10 più 0,04 volte 500. Ora 0,04 volte 500, ogni volta che moltiplico per i decimali, posso pensare a questo come se moltiplicassi per 4 e poi dividessi per 100. Moltiplicando per 4 mi dà 2000. Dividendo per 100 mi dà 20. 20 più 10 fa 30. Quindi è 30, e quali sono le unità?
Ricordiamoci che C'(500) è in realtà lo stesso di dc/dx. Quindi posso scrivere C'(x) in questo modo. Quando si scrive la derivata in questa forma, è molto più facile vedere quali sarebbero le unità. Unità della funzione di costo divisa per unità di x. La funzione di costo ha unità di dollari. X è solo il numero di skateboard, quindi questo sarebbe dollari per skateboard, ed è quello che abbiamo qui; dollari per skateboard. Quindi questo è un bel modo per ottenere le unità per una derivata era di guardarla in forma.
Nella parte c, vogliamo trovare il costo effettivo della 501st. Lasciatemi abbozzare quello che farò qui. Il costo effettivo sarà C(501) meno c(500). Vediamo che questo è un calcolo molto più complicato di quello che abbiamo appena fatto, ma ci darà il costo effettivo del 501° skateboard. Quindi prendiamo questo calcolo qui a destra.
Quindi ho bisogno di C(501) meno C(500). Lasciatemi calcolare ognuno di questi separatamente. Prima C(501). Questa è la mia funzione di costo. È 1800 più 10 volte 501 più 0,02 501². Quindi 1800 più 10 volte 501 è 5.010 più 0,02 volte 501² è 251.001. Poi devo moltiplicare questo per 0,02. È lo stesso che moltiplicare per 2 e dividere per 100. Moltiplicando per 2 otterrei 502.002. Dividendo per 100 otterrei questo. Quindi più 5.010 più 1800. Ora sommando tutto questo, noto che ho 10.000, 30 e 2 centesimi. Più 1800 fa 11.832 e 2 centesimi. Questo è il mio costo a 501 skateboard.
Qual è il mio costo a 500? Devo usare ancora questa funzione 1.800 più 10 volte 500 più 0,02 volte 500². Questo è solo 1.800 più 5.000 più 500² è 250.000 volte 0,02 di nuovo moltiplicato per 2.500.000, e dividere per 100 significa che ho messo un punto decimale proprio lì. Quindi questo è 5.000 più altri 5.000 più 1800. Questo mi darà 11.800.
Ora la differenza C(501) meno C(500) sarà di 30 dollari e 2 centesimi. Ora questo è il costo effettivo della produzione del 501° skateboard. Guarda tutto il lavoro che ho appena fatto solo per scoprire che il costo effettivo è 30 dollari e 2 centesimi. Questo è il costo effettivo del 501° skateboard.
La mia approssimazione usando il costo marginale qui era 30 dollari per skateboard. Anche questo era molto più facile da calcolare. Quindi questo è il valore del costo marginale. Prendi la derivata, inserisci 500, e ottieni un’approssimazione molto accurata del costo di uno skateboard in più, rispetto a questo calcolo fatto qui che mi ha portato via metà della tavola. Quindi il costo marginale è un concetto davvero prezioso. Ti dà anche una stima molto veloce del costo di produzione di un altro skateboard.