Integrazione e differenziazione sono due concetti molto importanti nel calcolo. Sono usati per studiare il cambiamento. Il calcolo ha una grande varietà di applicazioni in molti campi della scienza e dell’economia. Inoltre, possiamo trovare il calcolo nella finanza e nell’analisi del mercato azionario. In questo articolo, avremo alcune formule di differenziazione e integrazione con esempi. Impariamo il concetto interessante!
Formula di differenziazione e integrazione
Che cos’è la differenziazione?
La differenziazione è la procedura algebrica di calcolo delle derivate. La derivata di una funzione è la pendenza o il gradiente del grafico dato in qualsiasi punto. La pendenza di una curva in un punto qualsiasi è il valore della tangente disegnata a quella curva nel punto dato. Per una curva non lineare, il gradiente della curva varia in diversi punti lungo l’asse. Quindi, è difficile calcolare il gradiente in questi casi.
È anche definito come il cambiamento di una proprietà rispetto a un cambiamento unitario di un’altra proprietà.
(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x})
è una misura del tasso di cambiamento di f(x), rispetto a x.
E il valore limite di questo rapporto, come \(\Delta\) x tende a zero,
cioè \lim_{\Delta x\a 0} \frac{f(x)}{Delta x})
è chiamato la prima derivata della funzione f(x).
Che cos’è l’integrazione?
L’integrazione è il processo per calcolare gli integrali definiti o indefiniti. Per qualche funzione f(x) e un intervallo chiuso sulla linea reale,
l’integrale definito,
(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)
è l’area tra il grafico della funzione, l’asse orizzontale e le due linee verticali. Queste due linee saranno ai punti finali di un intervallo.
Quando un intervallo specifico non è dato, allora è noto come integrale indefinito.
Calcoleremo l’integrale definito usando le antiderivate. Pertanto, l’integrazione è il processo inverso della differenziazione.
Ricorda che la differenziazione calcola la pendenza di una curva, mentre l’integrazione calcola l’area sotto la curva, d’altra parte, l’integrazione è il processo inverso di essa.
Alcune formule fondamentali di differenziazione
(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c è una costante.
(2) \frac{d}{dx}(x)\) = 1
(3) \frac{dx}(x^n) = nx^{n-1} \4000>
(4) \frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \4000>
(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)
(7) \frac(\frac{dx}{uv}=u\frac{dx}{dx}v+v\frac{dx}{dx})u questa è la regola del prodotto
Alcune formule di integrazione di base
(1) \(\int 1\; dx = x+c \)
(2) \(\int m \;dx = mx + c \)
(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)
(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)
(5) \int cos x \;dx = sin x + c \)
(6) \int sec^2 x \;dx = tan x + c \)
(7) \(\int \frac{1}{x};dx = ln\; x + c \)
(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)
(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)
Esempi risolti per te
Q.1: Cos’è \(\frac{d}{dx} x^5\)?
Soluzione: Applichiamo la formula
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
Qui n=5, Quindi
La soluzione è \(5x^4 \)