Storia dei logaritmi

L’invenzione dei logaritmi fu prefigurata dal confronto tra sequenze aritmetiche e geometriche. In una sequenza geometrica ogni termine forma un rapporto costante con il suo successore; per esempio, …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… ha un rapporto comune di 10. In una sequenza aritmetica ogni termine successivo differisce di una costante, nota come differenza comune; per esempio, …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… ha una differenza comune di 1. Si noti che una sequenza geometrica può essere scritta in termini del suo rapporto comune; per la sequenza geometrica di esempio data sopra: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Moltiplicare due numeri della sequenza geometrica, per esempio 1/10 e 100, è uguale a sommare i corrispondenti esponenti del rapporto comune, -1 e 2, per ottenere 101 = 10. Così, la moltiplicazione si trasforma in addizione. Il confronto originale tra le due serie, tuttavia, non era basato su alcun uso esplicito della notazione esponenziale; questo fu uno sviluppo successivo. Nel 1620 la prima tabella basata sul concetto di mettere in relazione sequenze geometriche e aritmetiche fu pubblicata a Praga dal matematico svizzero Joost Bürgi.

Il matematico scozzese John Napier pubblicò la sua scoperta dei logaritmi nel 1614. Il suo scopo era quello di aiutare nella moltiplicazione di quantità che allora erano chiamate seni. Il seno intero era il valore del lato di un triangolo rettangolo con una grande ipotenusa. (L’ipotenusa originale di Napier era 107.) La sua definizione era data in termini di tassi relativi.

Il logaritmo, quindi, di qualsiasi seno è un numero che esprime molto semplicemente la linea che è aumentata ugualmente nel tempo meene mentre la linea del seno intero è diminuita proporzionalmente in quel seno, essendo entrambi i movimenti di tempo uguale e l’inizio ugualmente spostamento.

In collaborazione con il matematico inglese Henry Briggs, Napier adattò il suo logaritmo nella sua forma moderna. Per il logaritmo di Napier il confronto sarebbe tra punti che si muovono su una linea retta graduata, il punto L (per il logaritmo) che si muove uniformemente da meno infinito a più infinito, il punto X (per il seno) che si muove da zero a infinito a una velocità proporzionale alla sua distanza da zero. Inoltre, L è zero quando X è uno e la loro velocità è uguale in questo punto. L’essenza della scoperta di Napier è che questo costituisce una generalizzazione della relazione tra le serie aritmetiche e geometriche; cioè, la moltiplicazione e l’elevazione a potenza dei valori del punto X corrispondono all’addizione e alla moltiplicazione dei valori del punto L, rispettivamente. In pratica è conveniente limitare il moto L e X con la condizione che L = 1 a X = 10 in aggiunta alla condizione che X = 1 a L = 0. Questa modifica ha prodotto il logaritmo briggsiano, o comune.

Napier morì nel 1617 e Briggs continuò da solo, pubblicando nel 1624 una tabella di logaritmi calcolati con 14 decimali per numeri da 1 a 20.000 e da 90.000 a 100.000. Nel 1628 l’editore olandese Adriaan Vlacq pubblicò una tabella a 10 cifre per i valori da 1 a 100.000, aggiungendo i valori mancanti di 70.000. Sia Briggs che Vlacq si impegnarono nella creazione di tavole trigonometriche logiche. Queste prime tavole erano al centesimo di grado o al minuto d’arco. Nel 18° secolo, furono pubblicate tabelle per intervalli di 10 secondi, che erano convenienti per tabelle a sette decimali. In generale, intervalli più fini sono richiesti per il calcolo di funzioni logaritmiche di numeri più piccoli – per esempio, nel calcolo delle funzioni log sin x e log tan x.

La disponibilità di logaritmi influenzò notevolmente la forma della trigonometria piana e sferica. I procedimenti della trigonometria furono rifusi per produrre formule in cui le operazioni che dipendono dai logaritmi sono fatte tutte insieme. Il ricorso alle tavole consisteva allora in due soli passi, ottenere i logaritmi e, dopo aver eseguito i calcoli con i logaritmi, ottenere gli antilogaritmi.

Francis J. Murray