Definizione: Un triangolo è una figura chiusa formata da tre segmenti di linea.

Un triangolo consiste di tre segmenti di linea e tre angoli. Nella figura sopra, AB, BC, CA sono i tre segmenti di linea e ∠A, ∠B, ∠C sono i tre angoli.

Ci sono tre tipi di triangoli basati sui lati e tre basati sugli angoli.

Tipi di triangoli basati sui lati

Tangolo equilatero: Un triangolo che ha tutti e tre i lati di uguale lunghezza è un triangolo equilatero.

Siccome tutti i lati sono uguali, anche gli angoli sono uguali.

Triangolo isoscele: Un triangolo che ha due lati di lunghezza uguale è un triangolo isoscele.

I due angoli opposti ai lati uguali sono uguali.

Triangolo scaleno: Un triangolo che ha tre lati di lunghezza diversa si chiama triangolo scaleno.

Tipi di triangoli basati sugli angoli

Tangolo ad angolo acuto: Un triangolo i cui angoli sono tutti acuti è chiamato triangolo acuto o triangolo acuto.

Triangolo ottuso: Un triangolo il cui angolo è ottuso è un triangolo ottuso o triangolo ottuso.

Triangolo rettangolo: Un triangolo il cui angolo è un angolo retto è un triangolo rettangolo o triangolo retto.

Nella figura sopra, il lato opposto all’angolo retto, BC è chiamato ipotenusa.

Per un triangolo retto ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Questo è chiamato Teorema di Pitagora.

Nel triangolo sopra, 52 = 42 + 32. Solo un triangolo che soddisfa questa condizione è un triangolo rettangolo.

Quindi, il Teorema di Pitagora aiuta a trovare se un triangolo è rettangolo.

Tipi di triangoli

Ci sono diversi tipi di triangoli rettangoli. Per ora, la nostra attenzione è solo su una coppia speciale di triangoli rettangoli.

1. 45-45-90 triangolo
2. 30-60-90 triangolo

45-45-90 triangolo:

Un triangolo 45-45-90, come indica il nome, è un triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli sono 45° ciascuno.

Questo è un triangolo rettangolo isoscele.

In ∆ DEF, DE = DF e ∠D = 90°.

I lati in un triangolo 45-45-90 sono nel rapporto 1 : 1 : √2.
Triangolo 30-60-90:

Un triangolo 30-60-90, come indica il nome, è un triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli sono 30° e 60°.

Questo è un triangolo rettangolo scaleno poiché nessuno dei lati o degli angoli è uguale.

I lati in un triangolo 30-60-90 sono nel rapporto 1 : √3 : 2

Come ogni altro triangolo rettangolo, questi due triangoli soddisfano il Teorema di Pitagora.

Proprietà fondamentali dei triangoli

• La somma degli angoli in un triangolo è 180°. Questa è chiamata la proprietà della somma degli angoli.
• La somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo è maggiore della lunghezza del terzo lato. Allo stesso modo, la differenza tra le lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo è minore della lunghezza del terzo lato.
• Il lato opposto all’angolo più grande è il lato più lungo del triangolo e il lato opposto all’angolo più piccolo è il lato più corto del triangolo.


Nella figura sopra, ∠B è l’angolo maggiore e il lato opposto ad esso (ipotenusa), è il lato maggiore del triangolo.



Nella figura sopra, ∠A è l’angolo più grande e il lato opposto ad esso, BC è il lato più grande del triangolo.

• Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei suoi angoli interni opposti. Questa è chiamata la proprietà dell’angolo esterno di un triangolo.


Qui, ∠ACD è l’angolo esterno al ∆ABC.

Secondo la proprietà dell’angolo esterno, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similarità e congruenza nei triangoli

Figure con la stessa dimensione e forma sono figure congruenti. Se due forme sono congruenti, rimangono congruenti anche se vengono spostate o ruotate. Le forme rimangono congruenti anche se riflettiamo le forme producendo immagini speculari. Due forme geometriche sono congruenti se si coprono esattamente a vicenda.

Figure con la stessa forma ma con dimensioni proporzionali sono figure simili. Rimangono simili anche se vengono spostate o ruotate.

Similarità dei triangoli

Due triangoli si dicono simili se gli angoli corrispondenti di due triangoli sono congruenti e le lunghezze dei lati corrispondenti sono proporzionali.

Si scrive ∆ ABC ∼ ∆ XYZ e si dice ∆ ABC ‘è simile a’ ∆ XYZ.

Qui, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y e ∠C = ∠Z E

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

Le condizioni necessarie e sufficienti perché due triangoli siano simili sono le seguenti:
(1) Criterio di somiglianza Side-Side-Side (SSS):

Se tre lati di un triangolo sono proporzionali ai corrispondenti tre lati di un altro triangolo, allora i triangoli si dicono simili.

Qui, ∆ PQR ∼ ∆ DEF come

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Criterio Side-Angle-Side (SAS) di somiglianza:

Se i due lati corrispondenti dei due triangoli sono proporzionali e un angolo incluso è uguale al corrispondente angolo incluso di un altro triangolo allora i triangoli sono simili.

Qui, ∆ LMN ∼ ∆ QRS in cui

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Criterio Angolo-Angolo-Angolo (AAA) di somiglianza:

Se i tre angoli corrispondenti dei due triangoli sono uguali allora i due triangoli sono simili.

Qui ∆ TUV ∼ ∆ PQR come

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q e ∠V = ∠R

Congruenza dei triangoli

Due triangoli si dicono congruenti se tutti i lati di un triangolo sono uguali ai lati corrispondenti di un altro triangolo e gli angoli corrispondenti sono uguali.

Si scrive ∆ ABC ≅ ∆ XYZ e si dice che ∆ ABC “è congruente a” ∆ XYZ.

Le condizioni necessarie e sufficienti perché due triangoli siano congruenti sono le seguenti:
(1) Criterio SSS (Side-Side-Side) per la congruenza:

Se tre lati di un triangolo sono uguali ai corrispondenti tre lati di un altro triangolo allora i triangoli si dicono congruenti.

Qui, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ poiché AB = XY, BC = YZ e AC = XZ.
(2) Criterio di congruenza lato-angolo-lato (SAS):

Se due lati e l’angolo compreso tra i due lati di un triangolo sono uguali ai corrispondenti due lati e all’angolo compreso di un altro triangolo, allora i triangoli sono congruenti.

Qui, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ poiché AB = XY, ∠A = ∠X e AC = XZ.
(3) Criterio Angolo-Side-Angolo (ASA) per la congruenza: Se due angoli e il lato incluso di un triangolo sono uguali ai corrispondenti due angoli e al lato incluso di un altro triangolo, allora i triangoli sono congruenti.

Nella figura sopra, ∆ ABD ≅ ∆ CBD in cui

∠ABD = ∠CBD, AB = CB e ∠ADB = ∠CDB.
(4) Criterio di congruenza dell’ipotenusa retta: Se l’ipotenusa e un lato di un triangolo rettangolo sono uguali all’ipotenusa e al lato corrispondenti di un altro triangolo rettangolo, allora i triangoli sono congruenti.

Qui, ∠B = ∠Y = 90° e AB = XY, AC = XZ.

Area di un triangolo:

L’area di un triangolo è data dalla formula

Area di un triangolo = (1/2) *Base * Altezza

Per trovare l’area di un triangolo, si traccia una linea perpendicolare dalla base al vertice opposto che dà l’altezza del triangolo.

Quindi l’area del ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 unità quadrate.

Per un triangolo rettangolo, è facile trovare l’area perché c’è un lato perpendicolare alla base, quindi possiamo considerarlo come altezza.

L’altezza del ∆ XYZ è XY e la sua area è (1/2) * XZ * XY unità quadrate.

Ora, come troviamo l’area di un triangolo ottuso LMN?

Per un triangolo ottuso, estendiamo la base e tracciamo una linea perpendicolare dal vertice alla base estesa che diventa l’altezza del triangolo.

Quindi, l’area del ∆ LMN = (1/2) * LM * NK sq. unità.

Solvere le seguenti

1)

∆ ABC è un triangolo rettangolo e CD ⊥ AB (⊥ sta per ‘perpendicolare’).

Trovare i) ∠ACD e ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Risposta: C

Spiegazione:

Considera ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (poiché la somma degli angoli in un triangolo è 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (di nuovo, somma di tutti gli angoli di un triangolo)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Determinare se i seguenti sono triangoli retti

A. Entrambi sono triangoli rettangoli
B. ∆ ABC non è un triangolo rettangolo, ∆ DEF è un triangolo rettangolo
C. ∆ ABC è un triangolo rettangolo, ∆ DEF non è un triangolo rettangolo
D. Entrambi non sono triangoli retti

Risposta: B

Spiegazione:

La terna che soddisfa il teorema di Pitagora è l’insieme dei lati che formano un triangolo rettangolo.

3)

Se ∆ ABC = 3 (∆ DEF), quale delle seguenti è corretta?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° E DE = DF = 2 e EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° E DE = DF = 2 e EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° E DE = DF = 2 e EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° E DE = DF = 3 e EF = 3

Risposta: C

Spiegazione:

AB e AC sono uguali → gli angoli opposti sono uguali.

Pertanto ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC e ∆ DEF sono simili.