È ancora una volta il Pi Day (14 marzo – che è come le prime cifre del pi greco: 3 e 14). Prima di entrare nella celebrazione del pi greco di quest’anno, lasciatemi riassumere alcune delle cose più importanti su questo numero fantastico.

• Al di fuori degli Stati Uniti, il Pi Day dovrebbe probabilmente essere il 22 luglio (22/7)-questa frazione è una stima sorprendentemente buona di pi greco.
• Puoi trovare il valore di pi greco con una massa e una molla.
• Il valore di pi greco è legato al campo gravitazionale locale.
• Puoi trovare il valore di pi greco usando numeri casuali (questo è il mio preferito).
• E infine-esiste una relazione tra pi greco, e, 1, 0 e i (il numero immaginario).

Ma oggi, calcolerò pi greco con un integrale numerico. Cosa significa questo? Cominciamo con un esempio: come si trova l’area di un semicerchio?

L’area di un cerchio è pi volte il raggio al quadrato. Questa è la metà di un cerchio con un raggio di 1 (senza unità) tale che avrebbe un’area di pi/2. Se trovo l’area con qualche altro metodo, posso semplicemente moltiplicare quest’area per 2 e ottenere pi. Questo è il piano.

Ma come si fa a trovare l’area di una forma, o di qualsiasi forma? È qui che il calcolo torna utile. Posso trovare l’area del mezzo cerchio sommando l’area di un mucchio di rettangoli. Si scopre che è abbastanza facile trovare l’area di un rettangolo. Lasciatemi disegnare alcuni rettangoli in quel semicerchio così potete vedere cosa intendo.

L’area di ognuno di questi rettangoli sottili può essere trovata con la formula “base per altezza”. Un rettangolo ha un’altezza di “y” e una base di “dx” dove dx è solo una lunghezza arbitraria lungo l’asse x. Posso trovare il valore reale dell’altezza perché la parte superiore del rettangolo colpisce il cerchio dove questa altezza può essere trovata dall’equazione di un cerchio.

Ora devo solo sommare tutti questi rettangoli-boom, è l’area di mezzo cerchio. Posso scriverlo come una somma di aree come questa:

Ma aspetta! Non è una cattiva approssimazione all’area reale di un cerchio (semicerchio)? Sì, questo è vero, ma dipende davvero dalla larghezza di questi piccoli rettangoli d’area. Infatti, se prendo il limite come la larghezza (dx) va a zero allora otterrò l’area esatta. Questa è in realtà la definizione dell’integrale in matematica, ma la terrò per un altro giorno. Invece faremo un calcolo numerico semplicemente sommando l’area di un gruppo di rettangoli. Si potrebbe naturalmente farlo a mano, ma potrebbe diventare noioso. Invece, facciamolo con un programma per computer. Yup.

Ecco il calcolo numerico in python. Puoi andare avanti ed eseguire il codice premendo il pulsante “play”, ma ti darò alcuni commenti sul codice qui sotto.

Puoi cambiare il codice se ti rende felice-qui ci sono alcune cose da considerare.

• Questo è un calcolo numerico. Ciò significa che il programma si occupa solo di numeri. Tecnicamente, l’area dovrebbe avere unità di m2 o qualcosa del genere, ma non qui. Solo numeri.
• Per i cicli in python, include tutto ciò che è tab-indentato come parte del ciclo. Una volta che si deduce, non è più in un loop.
• La linea 18 dovrebbe sembrare strana perché lo è. Se considerate questa come un’equazione algebrica, la A dovrebbe annullarsi poiché è su entrambi i lati dell’equazione, ma questa non è un’equazione. In python (e nella maggior parte degli altri linguaggi), “=” significa “rendere uguale a”. Questa linea prende il vecchio valore di A, aggiunge il nuovo e poi lo rende il nuovo valore di A.

Questo calcolo iniziale ha una dx di 0,1. Ciò significa che ci saranno solo 20 rettangoli da sommare e ottenere l’area del semicerchio. Con questo, ottengo un valore approssimativo di pi greco di 3,10452, che chiaramente non è il pi greco esatto. Naturalmente posso fare una stima migliore facendo rettangoli di larghezza inferiore. Dovreste provare questo cambiando il codice sopra (suggerimento: cambiate il valore di dx). Comunque, dato che non posso lasciar perdere, ecco un grafico del valore di pi greco per diverse dimensioni di passo.

Forse non è il miglior grafico, ma è abbastanza buono per ora. Se volete controllare il codice di questa trama, eccovi serviti. Ma alla fine, il valore si avvicina al valore atteso di pi greco. Questo metodo potrebbe non farvi ottenere un milione di cifre di pi greco, ma forse potete almeno imparare qualcosa sull’integrazione.