Orbite degli elettroni di un atomo di elio.

Figura 1. La forma delle orbite degli elettroni di un atomo di elio nella configurazione para, che corrisponde allo stato fondamentale di un atomo. Le orbite di due elettroni sono mostrate con colori diversi (primo elettrone – blu, secondo elettrone – verde). Le linee rette originate dal nucleo mostrano le direzioni dei momenti orbitali e le direzioni dei campi magnetici indotti per ogni elettrone.

Abstract.

La nostra analisi dell’orbita dell’elettrone per un atomo di Elio ripete diversi aspetti della nostra analisi dell’orbita dell’elettrone di un atomo di Idrogeno, perché si tratta degli stessi tipi di orbite. Tenendo conto che l’atomo di idrogeno ha un solo elettrone, la nostra soluzione non era strettamente l’unica soluzione possibile per l’orbita dell’elettrone.

Nel caso dell’atomo di elio, c’è solo una soluzione per due elettroni, che creano sia momenti di dipolo che quadrupolo. Ulteriori restrizioni possono essere usate per il controllo del modello, perché le configurazioni orto e para delle orbite degli elettroni hanno i loro specifici insiemi di livelli di energia.

Presentiamo qui una soluzione semplice e un’immagine dettagliata delle orbite degli elettroni negli atomi di elio. Sono analizzate entrambe le configurazioni para- e orto- delle orbite degli elettroni. Spieghiamo perché lo stato fondamentale di un atomo di elio non è lo stato di energia più basso.

Le espressioni di meccanica quantistica per gli hamiltoniani sia per l’elio che per l’idrogeno non includono il termine di elettrodinamica di Maxwell. I campi magnetici indotti dalla rotazione degli elettroni sono semplicemente ignorati.

Combiniamo elettrodinamica e meccanica quantistica per calcolare i parametri esatti delle orbite.

Il principio di Pauli postula le direzioni di spin degli elettroni come su e giù. Questo principio deve essere postulato in Meccanica Quantistica, perché contraddice sia la legge di conservazione dell’energia che l’elettrostatica. Noi dimostriamo che le direzioni reali degli spin sono direzioni radiali verso il centro del nucleo e lontano dal centro del nucleo. Il nostro modello spiega il principio di Pauli, ma non ha bisogno di un postulato.

I momenti orbitali degli elettroni nel nostro modello si allineano lungo i raggi delle orbite degli elettroni. Possono avere direzioni verso e lontano dal centro del nucleo. Nel nostro modello, le rotazioni degli elettroni sono allineate lungo i campi magnetici creati dal movimento orbitale degli elettroni. Le rotazioni degli elettroni si comportano come una bussola, che si allinea lungo il campo magnetico più forte.

I complicati spettri energetici di un atomo di elio trovano una semplice spiegazione nei termini di due tipi di orbite e due serie di livelli energetici per l’orto e il para-elio.

Utilizziamo la Meccanica Quantistica nello stesso modo in cui N. Bohr la usò per il suo modello dell’atomo di idrogeno, ma non usiamo operatori, quindi non siamo legati alle caratteristiche statistiche del Principio di Incertezza.

Nello stesso approccio che abbiamo usato per l’orbita dell’atomo di idrogeno non abbiamo bisogno di usare il postulato dell’orbita meccanica quantistica, il postulato di Pauli o qualsiasi altro postulato.

Introduzione &lo stato attuale del problema.

Gli orbitali della meccanica quantistica indicano che la massima densità di probabilità di trovare un elettrone in un atomo si trova all’interno del protone in un atomo di idrogeno. L’orbita dell’elettrone è calcolata come la convoluzione della forma dell’orbitale e la forma sperimentalmente suggerita di gusci sferici.

Per un atomo di Elio, questo approccio non funziona. Ecco perché oltre alla forma circolare dell’orbita dell’elettrone non esiste un calcolo della forma reale dell’orbita degli elettroni in un atomo di Elio.

Gli esperimenti provano che nel caso di un atomo di Elio la differenza tra orto-Elio e para-Elio non si limita ad avere spin opposti. Si tratta di diverse configurazioni dell’orbita atomica con diversi set di livelli energetici. La natura di questa differenza non viene discussa.

Nel progetto 2, affronteremo questi problemi e discuteremo altre questioni.

Nella parte precedente, abbiamo indicato che per un atomo di idrogeno l’approccio differenziale può produrre diversi tipi di soluzioni. La presenza di un solo elettrone ha reso abbastanza difficile scegliere una soluzione corretta per un singolo momento di dipolo. Due elettroni in un atomo di Elio creano sia un momento di dipolo che un quadrupolo, oltre a limitare i parametri di ogni parte dell’orbita al singolo quarto di una sfera. Combinate con il comportamento nobile nelle reazioni chimiche, queste condizioni ci danno la possibilità di trovare un’unica soluzione.

Direzioni degli spin degli elettroni.

Prima dobbiamo fare una nota sulle direzioni degli spin e sul termine di interazione spin-orbitale.

• Gli spin individuali degli elettroni in un atomo di elio sono uguali a metà. Lo spin totale di un atomo di elio nello stato di terra è uguale a zero. Da un punto di vista matematico, questo è un semplice compito di due vettori, che ha solo una soluzione in algebra vettoriale. I vettori di spin devono essere posizionati lungo la stessa linea e avere direzioni opposte. Se questi vettori non sono allineati lungo la stessa linea retta, la loro somma non sarà uguale a zero. Questi due vettori produrranno il momento rotazionale. Ciò significa che nello stato di terra di un atomo di elio, i vettori di spin per entrambi gli elettroni dovrebbero essere allineati lungo la linea che collega le loro posizioni. Per lo stato di singoletto, le direzioni degli spin sono opposte. Questa affermazione è strettamente corretta per gli atomi di para-elio. Per una configurazione orto-elio, la situazione è un po’ più complicata e la analizzeremo di seguito.

Diamo un’occhiata alle direzioni degli spin degli elettroni.

Figura 2a. La somma dei vettori di spin allineati lungo la stessa linea in direzioni opposte risulta in uno spin totale uguale a zero nel nostro modello.

Figura 2b. La somma dei vettori su e giù degli spin degli elettroni non è uguale a zero. La combinazione di questi spin dà come risultato un nuovo momento rotazionale nel modello che utilizza il principio di Pauli.

I vettori di spin degli elettroni hanno una natura magnetica. Si comportano come una bussola, il che significa che si dispongono lungo un campo magnetico più forte, creato dal movimento orbitale degli elettroni. Questo ci porta a concludere che i vettori magnetici dei momenti orbitali nel nostro modello dovrebbero anche essere diretti verso il centro del nucleo.

Il viaggio continuo di un elettrone lungo la sua traiettoria induce campi magnetici. Nel nostro modello, quattro campi magnetici opposti sono creati nella lunghezza di un giro di un’orbita dell’elettrone. Questi campi sono uguali in ampiezza.

Atomo di elio.

Per l’atomo di elio useremo lo stesso modello che abbiamo usato per l’atomo di idrogeno. L’unica differenza è la doppia carica del nucleo e le due di elettroni in orbita.

L’energia di un elettrone in movimento può essere espressa dalla Meccanica Classica e Quantistica come:

$frac {m {\\code(01)} v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

In questa formula $m$ – è la massa dell’elettrone, $v$ – è la velocità dell’elettrone, $h$ – è la costante di Planck, $f$ – è la frequenza dell’onda dell’elettrone e $n$ è un numero intero.

L’equazione (1) rappresenta la differenza tra il “rotatore rigido” della meccanica quantistica e il nostro modello. Noi consideriamo ogni particella con la sua onda individuale, piuttosto che due o tre particelle con un’unica onda combinata. Nel nostro modello, le onde dovrebbero interferire tra di loro, ma non possono essere semplicemente sommate.

Ecco perché la formula (1) è scritta per ogni singolo elettrone ed è la stessa per gli atomi di idrogeno o di elio.

La lunghezza di quattro emi sfere deve essere uguale a:

$L = 4 {\ } \pi {\i} r = n \cdot \lambda$ (2).

La frequenza di rotazione orbitale dell’elettrone può essere trovata come la velocità dell’elettrone divisa per la lunghezza dell’orbita:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\i} \(3).

Sostituendo la frequenza della (3) nella (1) si ottiene:

$frac {m {m {v^2}{2} = h {m^2} \frac {v {v {n} n }{4 {\frac {\frac} \r} = \frac {\frac {hbar} v {\frac n}{2 {\frac r} $ (4a).

Utilizziamo la costante di Planck ridotta $hbar = \frac {h}{2 \pi}$ nell’espressione (4a).

Come risultato dell’equazione (4) abbiamo ottenuto l’espressione per il momento orbitale dell’elettrone:

$m {\hbar v {\hbar r = \hbar \cdot n$ (4).

L’espressione (4) significa che il momento orbitale dell’elettrone è uguale al numero intero, moltiplicato per la costante di Planck ridotta. Questa espressione è la stessa che abbiamo ottenuto per l’atomo di idrogeno e significa che non abbiamo bisogno del postulato del momento orbitale per l’atomo di elio. Questa conclusione sarà importante per altri atomi della tavola periodica con orbite elettroniche di tipo $s$ nella loro struttura.

Nella nostra analisi della forma dell’orbita elettronica dell’atomo di idrogeno siamo giunti alla conclusione che non esiste una soluzione numerica per il tipo di orbita, dove i vettori dei campi magnetici indotti sono paralleli o perpendicolari agli assi $x, y, z$. Una tale configurazione dell’orbita contraddirebbe il risultato dell’equazione (4).

Soluzione dell’equazione di Faraday

$ \oint E \cdot ds = – \frac{\parziale \Phi _{mag}}{\parziale t}$ (5)

abbiamo trovato nella forma della traiettoria ellittica dell’elettrone, proiettata sulla superficie sferica.

Figura 3. Orbita degli elettroni per la configurazione orto dell’atomo di elio.

Figura 4. Orbita degli elettroni per la configurazione para dell’atomo di elio. L’elettrone verde si muove lungo la linea blu. L’elettrone blu si muove lungo la linea verde. Questo è stato fatto per un migliore contrasto. Le linee rette mostrano la direzione dei campi indotti.

Nella configurazione para, la configurazione delle orbite così come le posizioni degli elettroni in qualsiasi momento del tempo mostrano una simmetria sferica di tipo puntiforme. Ciò significa che la linea retta che collega le posizioni degli elettroni, attraverserà sempre il centro del nucleo.

La procedura per trovare i parametri della traiettoria degli elettroni è la stessa che abbiamo usato per l’atomo di idrogeno. Dobbiamo trovare i valori di tre parametri, che definiscono la traiettoria ellittica degli elettroni nell’atomo di Elio ed esprimeremo questi valori nelle unità del raggio dell’orbita dell’elettrone.

Partiamo dalla configurazione orto.

Anche se i valori di questi parametri, espressi in unità di raggio sono simili alle espressioni per l’atomo di idrogeno, i valori reali per l’atomo di elio sono diversi:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

L’energia dello ione Elio, quando solo un elettrone è rimasto sull’orbita, è la stessa che era stata calcolata nel modello di Bohr:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \epsilon_0 \cdot h^2} = 54,4 eV$ (7).

Questo risultato è ben noto e non necessita di ulteriori interpretazioni.

Nel caso di un atomo di elio con due elettroni in orbita attorno al nucleo, cominciamo con i calcoli della lunghezza dell’orbita.

La lunghezza dell’orbita è uguale a:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Abbiamo usato la formula di Ramanujan per la lunghezza dell’ellisse nei nostri calcoli.

Queste orbite hanno tre parametri $a, b$ e $r$. Come per l’atomo di idrogeno, i valori dei parametri $a$ e $b$ possono essere espressi nelle unità del raggio sferico $r$ dell’orbita come:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

La funzione che rappresenta la traiettoria dell’elettrone e la derivata di questa funzione sono continue e non hanno singolarità.

Per due elettroni sulla superficie della sfera, c’è equilibrio tra la forza di Coulomb e la forza centripeta:

$frac{2 {\i} e^2}{4{\i} \pi {silon_0 {\i} r^2} = \frac{2 m {\i} v^2}{r} $ (10).

La velocità dell’elettrone può essere espressa dalla (10) come:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\i} \pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \‗epsilon_0‖ r ‗m} } $ (11).

La formula (8) garantisce che l’espressione per il momento orbitale sia corretta:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \hbar$ (12).

La combinazione di (11) e (12) ci dà il raggio della superficie sferica dell’orbita dell’elettrone:

$m \cdot r {\m} \sqrt{ \frac {e^2}{4{4} \più \più \più \più \più \più \più \‗epsilon_0‖ r {\2017↩m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\m} \frac {e^2}{4 {\i} \pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \epsilon_0 {\i} r {\i}m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\i} r {\i} e^2 $=$ 4 {\i} \pi {\i} \epsilon_0 $ {silon_0 $} \n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\i} \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \epsilon_0 = \silon_0 \hbar^2 \n^2}{m {\i} e^2}$ (16).

L’energia di due elettroni sull’orbita dell’elio può essere calcolata come:

$E = 2 \cdot \frac {m\i} v^2}{2}$ (17).

La seconda potenza della velocità dell’elettrone può essere espressa dalla (11) come:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\frac} \pii \silon_0 \epsilon_0 r m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 \pii \i \i \i \i \i \i \i \i \‗epsilon_0‖ m 4 {\ } \・e2 ・e2 ・e3 \epsilon_0 \n^2 n^2} = \frac {e^4}{4 ^4 (18).

Abbiamo usato l’espressione (16) per il raggio dell’orbita dell’elettrone.

Dall’equazione (17), il valore dell’energia degli stati dell’elettrone sarebbe uguale a:

$E = \frac {m {m {e^4}{4 {{4} {Questo valore è l’energia per lo stato più basso dell’atomo di elio nella configurazione orto. Questa quantità di energia è necessaria ad un elettrone per raggiungere il livello di ionizzazione. Se segniamo l’energia di ionizzazione nel vuoto come zero, allora questa energia dovrebbe essere negativa.

La formula (27) descrive lo spettro dei livelli di energia dell’atomo di elio in configurazione orto. Altri livelli energetici di Elio orto per $n > 1$, così come le transizioni tra di loro dovrebbero essere osservabili negli spettri dell’Elio, a condizione che il metodo di eccitazione tenga conto delle transizioni proibite dallo spin tra lo stato fondamentale di para- Elio singoletto e gli stati eccitati di orto- Elio tripletto. In condizioni normali con una fonte ottica di eccitazione, lo spettro delle linee di orto Elio è praticamente invisibile.

Questo stato orto dell’atomo di Elio non può essere lo stato fondamentale, perché sia il momento orbitale che lo spin dell’atomo in questo stato non sono uguali a zero. Ciò significa che l’atomo di elio in questo stato sarebbe altamente reattivo e il suo comportamento sarebbe simile a quello di un atomo di idrogeno.

Lo stato fondamentale del gas inerziale monoatomico Elio appartiene al para-stato dell’Elio.

Para-Elio.

La figura 5 qui sotto mostra la configurazione para di un’orbita di elettroni di un atomo di Elio. Le orbite di un elettrone sono mostrate in blu e un altro in verde. Queste orbite possiedono un punto di simmetria al centro del nucleo. In qualsiasi momento, due elettroni occupano posizioni sui lati opposti del diametro delle orbite degli elettroni. Le direzioni dei momenti orbitali, così come le direzioni dei campi magnetici indotti sono indicate da quattro linee rosse per un elettrone e da quattro linee verdi per un altro elettrone. L’angolo tra due linee dello stesso colore è di circa 109,47 gradi. Le direzioni di due momenti e due campi magnetici per ogni elettrone sono verso il centro della sfera e altri due vettori hanno direzioni lontane dal centro delle sfere.

Figura 5. Orbite degli elettroni di un atomo di elio nella configurazione para.

La figura 5 mostra le orbite degli elettroni nella configurazione para di un atomo di elio. Gli elettroni verdi e blu si trovano ai lati opposti del diametro della loro orbita. Le loro orbite sono simmetriche rispetto alla posizione del protone. Le direzioni del campo magnetico indotto sono mostrate come le linee verdi e blu.

Per la configurazione para di un elettrone lo spin totale delle orbite, i momenti orbitali così come gli integrali del campo elettrico e del campo magnetico indotto sono uguali a zero.

Come risultato, un atomo di elio nella configurazione para di orbita occupa uno stato energetico stabile e nessuna interazione esterna è necessaria per compensare i momenti orbitali non bilanciati e i campi di spin. Questa è la ragione per cui gli atomi di elio nella configurazione para sono nobili, inerziali & gas monoatomici.

Per trovare il valore dell’energia nella configurazione para, dobbiamo moltiplicare il valore dell’energia di un elettrone in una configurazione orto per il coefficiente vettore sterico (vedi paragrafo successivo):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,909 $ (20).

L’energia dello stato fondamentale di un atomo di elio è uguale all’energia dello stato più basso nella configurazione para-:

$E_0 = 27,2 \cdot \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Questo risultato concorda con il valore sperimentale dell’energia di ionizzazione del primo elettrone di un atomo di elio, che è pari a $E_{ionizzazione} = 24,6 eV$. La differenza di energie di circa $\Delta E = 0,1 eV$ dovrebbe essere attribuita all’interazione spin-spin.

Anche se allo stato fondamentale, un atomo di elio esiste solo nella configurazione para-. Gli stati eccitati di entrambe le configurazioni possono essere osservati nei dati spettrali, anche se le transizioni tra questi due stati non possono essere osservate nel caso di eccitazione ottica perché sono vietate in spin. L’eccitazione elettronica risolverebbe questo problema e sarebbe possibile osservare i livelli per entrambi gli stati.

Calcoli del coefficiente vettore sterico per il para- Elio.

Nei nostri calcoli del momento orbitale dell’elettrone, abbiamo usato il principio di indipendenza delle componenti ortogonali di un movimento degli elettroni. Senza una dichiarazione speciale, abbiamo assunto che le componenti che sono ortogonali alla componente orbitale, non danno alcun contributo all’energia totale degli elettroni in un atomo di elio. Abbiamo calcolato l’energia di due sistemi di elettroni come se l’energia totale fosse combinata come una funzione scalare del raggio dell’orbita e trascurato il carattere vettoriale delle componenti angolari della traiettoria degli elettroni.

Dal punto di vista della meccanica classica, un tale approccio sembra giustificato, perché due elettroni in un atomo di elio sono posizionati agli estremi opposti del diametro delle loro orbite. Lo stesso argomento potrebbe essere detto per la Meccanica Quantistica, che rappresenta gli elettroni come una nuvola distribuita, dove le posizioni di ogni elettrone non possono essere definite o determinate.

Ma i nostri calcoli sono basati sull’Elettrodinamica.

L’energia di un elettrone in un campo elettrico può essere calcolata come potenziale del campo moltiplicato per la carica dell’elettrone:

$Energia = E \cdot e$ (22).

Questa espressione descrive l’energia potenziale. Essa diventerà l’energia dell’elettrone dopo che l’elettrone passa la distanza lungo il campo con tale potenziale.

Secondo la formula di Faraday, il campo magnetico indotto da cariche in movimento è uguale a:

$ \oint E \cdot ds = – \frac{\parziale \Phi _{mag}{\parziale t}$ (23).

Questa formula di Faraday ci dà la possibilità di produrre le regole di addizione delle espressioni vettoriali, che sono proporzionali alle energie di ogni elettrone. Invece di un integrale tridimensionale di un campo elettrico, troveremo la somma dei vettori dei campi magnetici indotti per il primo elettrone e il vettore del campo magnetico indotto per il secondo elettrone perché questi valori sono in proporzione diretta. Poi useremo il coefficiente sterico che troviamo per i vettori magnetici indotti per combinare l’energia degli elettroni.

Il valore dell’energia per ogni elettrone nell’equazione (24) è uguale alla metà dell’energia totale, che abbiamo trovato per la configurazione orto dell’atomo di elio:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

L’energia di due sistemi di elettroni sarà uguale all’energia del primo elettrone più l’energia del secondo elettrone, moltiplicata per il coefficiente vettore sterico:

$Energia = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

I campi magnetici indotti per ogni elettrone in un atomo di elio hanno la geometria del cubo con angoli di 109,47 gradi tra le direzioni dei campi magnetici indotti. Ciò significa che ogni vettore del campo magnetico indotto può essere rappresentato da una linea dal centro del cubo a un angolo non adiacente del cubo:

La figura 6. illustra il caso di due elettroni con le loro orbite a simmetria puntiforme al centro del cubo.

La sfera rossa rappresenta il nucleo di elio. Le linee rosse mostrano la direzione del campo magnetico indotto per un elettrone. Le linee verdi mostrano la direzione dei campi magnetici indotti per l’altro elettrone. Dei quattro vettori per ogni elettrone, due vettori hanno direzione verso il nucleo e gli altri due vettori hanno direzione verso l’angolo del cubo.

Il coefficiente sterico può essere calcolato dalla figura 6. Se assumiamo che la lunghezza del lato del cubo sia di 2a unità, allora la lunghezza delle diagonali AO e BO sarebbe uguale a:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

La mezza somma di questi due momenti o la linea OC ha la lunghezza:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Significa che per aggiungere il vettore momento di un secondo elettrone al vettore del primo elettrone è necessario moltiplicare il vettore del secondo elettrone per il coefficiente sterico:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \cdot (E_1 + E_2 \cdot \frac {sqrt 2}{sqrt 3}) = 24,7 eV$ (27).

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