Vector, in matematica, una quantità che ha sia grandezza che direzione ma non posizione. Esempi di tali quantità sono la velocità e l’accelerazione. Nella loro forma moderna, i vettori apparvero alla fine del 19° secolo quando Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside (rispettivamente degli Stati Uniti e della Gran Bretagna) svilupparono indipendentemente l’analisi vettoriale per esprimere le nuove leggi dell’elettromagnetismo scoperte dal fisico scozzese James Clerk Maxwell. Da allora, i vettori sono diventati essenziali in fisica, meccanica, ingegneria elettrica e altre scienze per descrivere matematicamente le forze.

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algebra lineare: Vettori e spazi vettoriali

L’algebra lineare di solito inizia con lo studio dei vettori, che sono intesi come quantità aventi sia grandezza che direzione. Vettori…

I vettori possono essere visualizzati come segmenti di linea diretti le cui lunghezze sono le loro grandezze. Poiché solo la grandezza e la direzione di un vettore sono importanti, qualsiasi segmento diretto può essere sostituito da uno della stessa lunghezza e direzione ma che inizia in un altro punto, come l’origine di un sistema di coordinate. I vettori sono solitamente indicati da una lettera in grassetto, come v. La grandezza di un vettore, o lunghezza, è indicata da |v|, o v, che rappresenta una quantità unidimensionale (come un numero ordinario) nota come scalare. Moltiplicando un vettore per uno scalare si cambia la lunghezza del vettore ma non la sua direzione, tranne che moltiplicando per un numero negativo si inverte la direzione della freccia del vettore. Per esempio, moltiplicando un vettore per 1/2 si otterrà un vettore lungo la metà nella stessa direzione, mentre moltiplicando un vettore per -2 si otterrà un vettore lungo il doppio ma puntato nella direzione opposta.

Due vettori possono essere aggiunti o sottratti. Per esempio, per sommare o sottrarre graficamente i vettori v e w (vedi il diagramma), spostate ciascuno nell’origine e completate il parallelogramma formato dai due vettori; v + w è quindi un vettore diagonale del parallelogramma, e v – w è l’altro vettore diagonale.

Ci sono due modi diversi di moltiplicare insieme due vettori. Il prodotto incrociato, o vettoriale, risulta in un altro vettore che viene indicato con v × w. La grandezza del prodotto incrociato è data da |v × w| = vw sin θ, dove θ è l’angolo minore tra i vettori (con le loro “code” poste insieme). La direzione di v × w è perpendicolare sia a v che a w, e la sua direzione può essere visualizzata con la regola della mano destra, come mostrato in figura. Il prodotto incrociato è frequentemente usato per ottenere una “normale” (una linea perpendicolare) ad una superficie in qualche punto, e si verifica nel calcolo della coppia e della forza magnetica su una particella carica in movimento.

L’altro modo di moltiplicare due vettori insieme è chiamato prodotto di punti, o a volte un prodotto scalare perché risulta in uno scalare. Il prodotto di punto è dato da v ∙ w = vw cos θ, dove θ è l’angolo minore tra i vettori. Il prodotto di punto è usato per trovare l’angolo tra due vettori. (Si noti che il prodotto del punto è zero quando i vettori sono perpendicolari.) Una tipica applicazione fisica è trovare il lavoro W eseguito da una forza costante F che agisce su un oggetto in movimento d; il lavoro è dato da W = Fd cos θ.