数学において、大きさと方向を持つが、位置を持たない量のことをいう。 そのような量の例は、速度と加速度である。 19世紀末、スコットランドの物理学者マクスウェルが発見した電磁気学の新しい法則を、ジョサイア・ウィラード・ギブス（米国）とオリバー・ヘイヴィサイド（英国）がそれぞれベクトル解析を開発し、ベクトルは現代的な形で登場しました。 それ以来、ベクトルは物理学、力学、電気工学、その他の科学において、力を数学的に記述するために不可欠なものとなりました。
ベクトルはその長さが大きさである有向の線分として視覚化されることがある。 ベクトルの大きさと方向だけが重要なので、任意の有向線分は同じ長さと方向で、座標系の原点のような他の点から始まるものに置き換えられるかもしれません。 ベクトルの大きさ（長さ）は｜v｜で示され、スカラーと呼ばれる一次元の量（普通の数など）を表す。 ベクトルにスカラーを掛けると、ベクトルの長さは変わりますが、方向は変わりません。ただし、負の数を掛けると、ベクトルの矢印の方向が逆になります。 例えば、ベクトルに 1/2 を掛けると、同じ方向に半分の長さのベクトルになり、一方、ベクトルに -2 を掛けると、2 倍の長さのベクトルになりますが、反対方向を指します。
2 つのベクトルは加算または減算することができます。 例えば、ベクトルvとwを図式的に足したり引いたりするには（図参照）、それぞれを原点に移動し、2つのベクトルによって形成される平行四辺形を完成させる。このときv + wは平行四辺形の一方の対角ベクトルとなり、v – wはもう一方の対角ベクトルとなる。
二つのベクトルを掛け合わせる方法は二通りある。 ベクトル積は、v×wで示される別のベクトルになります。クロスプロダクトの大きさは、｜v×w｜=vw sin θで、θはベクトル間の小さい角度です（それらの「尾」が一緒に置かれた場合）。 v×wの方向はvとwの両方に垂直であり、その方向は図のように右手の法則で可視化することができる。
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2つのベクトルを掛け合わせるもう1つの方法は、内積と呼ばれ、スカラーになることからスカラー積と呼ばれることもあります。 内積は v ∙ w = vw cos θ で与えられ、ここで θ はベクトル間の小さい方の角度を表します。 2つのベクトル間の角度を求めるには、内積が使われる。 (典型的な物理的応用例としては、動いている物体dに一定の力Fが作用したときの仕事Wを求めることであり、仕事はW = Fd cos θ.
で与えられる。