三角形は3つの線分と3つの角からなる閉じた図形である。 上の図では、AB、BC、CAが3つの線分、∠A、∠B、∠Cが3つの角度です。

三角形には辺によるものと角度によるものがあります。

辺による三角形の種類

二角形のことです。

すべての辺が等しいので、すべての角も等しくなる。

等しい辺に対向する2つの角は等しい。

スケレン三角形: 長さの等しい2辺を持つ三角形は、二等辺三角形です。

角度による三角形の種類

鋭角三角形(Acute-angled triangle): すべての角が鋭角の三角形は鋭角三角形または鋭角三角形と呼ばれます。

直角三角形：一つの角が鈍角の三角形は鈍角三角形と呼ばれる。

上の図で、直角の反対側の辺BCを斜辺と呼ぶ。

直角三角形ABCについて、

BC2 = AB2 + AC2

これはピタゴラスの定理と呼ばれる。

上の三角形では、52=42+32です。 この条件を満たす三角形だけが直角三角形です。

ですから、ピタゴラスの定理は、三角形が直角であるかどうかを調べるのに役立ちます。

1. 45-45-90 triangle
2. 30-60-90 triangle

45-45-90 triangle:

45-45-90 triangleはその名の通り、他の二つの角がそれぞれ45°である直角三角形である。

これは二等辺三角形です。

∆ DEFにおいて、DE = DFと∠D = 90°です。

45-45-90三角形の辺は1 : 1 : √2の割合で存在することになります。
30-60-90三角形：

30-60-90三角形はその名の通り、他の二つの角が30°と60°である直角三角形です。

辺や角がどれも等しくないので、これはスカレン直角三角形と言えます。

30-60-90の三角形の辺は1：√3：2の比率である

他の直角三角形と同様に、この二つの三角形はピタゴラスの定理を満たす

三角形の基本特性

• 三角形の角の合計は180°である
• 。 これを角の和の性質といいます。
• 三角形の任意の2辺の長さの和は、3辺の長さより大きい。 同様に、三角形の任意の2辺の長さの差は3辺の長さより小さい。
• 最大の角に対向する辺は三角形の最長辺で、最小の角に対向する辺は三角形の最短辺である。


上の図で、∠Bは最大の角で、その反対側の辺（斜辺）は、三角形の最大の辺である。



上の図で、∠Aは最大の角で、その反対側の辺BCは三角形の最大の辺です。

• 三角形の外角はその内部の反対側の角の和に等しくなります。 これを三角形の外角の性質といいます。


ここで、∠ACDは△ABCに対する外角です。

外角の性質から、∠ACD＝∠CAB＋∠ABC.

三角形の相似と合同

大きさと形が同じ図形は合同な図形である。 2つの図形が合同であれば、移動したり回転したりしても合同である。 また、図形を鏡像にして反射させても合同である。 2つの幾何学的形状が互いにぴったりと重なる場合、合同である

同じ形状で大きさが比例する図形は、類似図形である。 8702>

Similarity of triangles

二つの三角形は対応する角が合同で、対応する辺の長さが比例する場合、相似であると言われる。

ここで、∠A＝∠X、∠B＝∠Y、∠C＝∠Z AND

AB / XY＝BC / YZ＝CA / ZX

二つの三角形が類似する必要条件と十分条件は、次の通りである。
(1) サイド・サイド・サイド（SSS）基準で相似である。

ある三角形の3辺が他の三角形の対応する3辺に比例する場合、その三角形は相似であると言われる。

ここで、∆PQR ∼ ∆DEFは

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Side-Angle-Side (SAS) 基準：

二つの三角形で二つの辺は比例していて一つの含み角が別の三角形の含み角に等しければ三角形は類似とされます。

ここで、△LMN∼△QRSは、

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) 角度-角度-角度（AAA）基準で類似性を判定することができる。

二つの三角形の対応する三つの角が等しければ、その二つの三角形は相似である。

ここで∆TUV ∼ ∆PQR として

∠T = ∠P.となる。 ∠U＝∠Q、∠V＝∠R

三角形の合同

二つの三角形は、ある三角形のすべての辺が他の三角形の対応する辺と等しく、対応する角が等しい場合、合同であるといいます。

これを△ABC ≅△XYZと書き、△ABC「に合同である」と言う。

二つの三角形が合同であるための必要条件と十分条件は次の通りです。
(1) 合同性のSSS基準：

ある三角形の三辺が他の三角形の対応する三辺と同じなら、その三角形は合同であると言われます。

ここで、AB = XY, BC = YZ, AC = XZとして、△ ABC ≅ △ XYZ。
（2）辺-角-辺（SAS）基準：

ある三角形の2辺および2辺に囲まれた角度と他の三角形の2辺および囲まれた角度が一致するなら、その三角形は一致である。

ここで、AB＝XY、∠A＝∠X、AC＝XZとして、∆ABC ≅ XYZとなる
（3）角度-側面-角度（ASA）基準で一致することです。 ある三角形の2つの角と含まれる辺が、他の三角形の対応する2つの角と含まれる辺と等しいとき、その三角形は合同である。

上図の△ABD ≅△CBDは

∠ABD =∠CBD, AB = CB, ∠ADB =∠CDB.
（4）直角低角の一致の基準で、∠ABD ＝ ∠CBD ＝ ∠CBDとなる。 直角三角形の∠Bと一辺が他の直角三角形の対応する∠Bと一辺と等しいとき、その三角形は合同である。

ここで、∠B＝∠Y＝90°、AB＝XY、AC＝XZである。

三角形の面積：

三角形の面積は式

三角形の面積＝（1/2）*底辺*高さ

三角形の面積を求めるには底辺から高さを与える反対の頂点に垂線を引きます。

そこで、△PQRの面積＝（1/2）＊（PR＊QS）＝（1/2）＊6＊4＝12平方メートルとなる。

直角三角形は底辺に垂直な辺があるので、高さと考えれば面積を求めるのは簡単です。

△XYZの高さはXY、面積は（1/2）＊XZ＊XY平方メートルです。

さて、鈍角三角形の面積はどう求めますか。

鈍角三角形は底辺を延長し、頂点から延長した底辺に垂線を引き、それが三角形の高さとなります。 単位。

以下

を解く1)

∆ ABCは直角三角形でCD ⊥ AB（⊥は「垂直」の意）

i)∠ACD と ii)∠ABC.

A.を求めます。 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35、25

Answer: C

説明：

ΔACDを考慮します。

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180°（三角形の角の和は180°なので）

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 65°

∆ BCDの場合です。 ∠DCB＋∠CBD＋∠BDC＝180° （これも三角形のすべての角の和）＜2211＞ ＜298＞65＋∠CBD＋90＝180 →∠CBD＝25°＝∠ABC.

2) 次のものが直角三角形かどうかを判定せよ

A. どちらも直角三角形
B. ∆ ABCは直角三角形でない、△DEFは直角三角形である
C. ∆ ABCは直角三角形、DEFは直角三角形でない
D. どちらも直角三角形ではない

Answer B

解説：

ピタゴラスの定理を満たす三つ組は、直角三角形を作る辺の集合です。

3)

△ ABC＝3（△DEF）のとき、正しいのはどれか。

A． ∠E＝∠F＝40°、∠D＝120° AND DE＝DF＝2、EF＝3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° AND DE = DF = 2 and EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° AND DE = DF = 2 and EF = 3
D. ∠E＝∠F＝40°、∠D＝110° AND DE＝DF＝3、EF＝3

答え。 C

説明：

ABとACは等しい→対角は等しい。

したがって、∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°。

∆ ABC = 3（∆ DEF） → ∆ ABCと∆ DEFは似ている。