cirkels

Leerdoel(en)

– Eigenschappen van cirkels benoemen.

– De omtrek van een cirkel bepalen.

– De oppervlakte van een cirkel bepalen.

– De oppervlakte en omtrek van samengestelde meetkundige figuren bepalen.

Cirkels zijn een veel voorkomende vorm. Je ziet ze overal: wielen van auto’s, frisbees die door de lucht vliegen, compact discs die gegevens overbrengen. Dit zijn allemaal cirkels.

Een cirkel is een tweedimensionale figuur, net als veelhoeken en vierhoeken. Cirkels worden echter anders gemeten dan deze andere vormen – je moet zelfs andere termen gebruiken om ze te beschrijven. Laten we eens kijken naar deze interessante vorm.

Een cirkel stelt een verzameling punten voor, die allemaal op dezelfde afstand liggen van een vast, middelpunt. Dit vaste punt wordt het middelpunt genoemd. De afstand van het middelpunt van de cirkel tot een willekeurig punt op de cirkel wordt de straal genoemd.

Wanneer twee stralen (het meervoud van straal) worden samengevoegd tot een lijnstuk over de cirkel, heb je een diameter. De diameter van een cirkel gaat door het middelpunt van de cirkel en heeft zijn eindpunten op de cirkel zelf.

De diameter van een willekeurige cirkel is twee keer de lengte van de straal van die cirkel. Hij kan worden weergegeven met de uitdrukking 2r, of “twee keer de straal”. Dus als u de straal van een cirkel kent, kunt u die met 2 vermenigvuldigen om de diameter te vinden; dit betekent ook dat als u de diameter van een cirkel kent, u door 2 kunt delen om de straal te vinden.

De afstand om een cirkel wordt de omtrek genoemd. (Bedenk dat de afstand om een veelhoek de omtrek is.)

Een interessante eigenschap van cirkels is dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel voor alle cirkels gelijk is. Het maakt niet uit hoe groot de cirkel is, de verhouding tussen de omtrek en de diameter zal hetzelfde zijn.

Hieronder staan enkele actuele metingen van verschillende voorwerpen. De metingen zijn nauwkeurig tot op de millimeter of kwart inch (afhankelijk van de gebruikte meeteenheid). Kijk naar de verhouding van de omtrek tot de diameter voor elk van hen – hoewel de items zijn verschillend, de verhouding voor elk is ongeveer hetzelfde.

De omtrek en de diameter zijn benaderende maten, aangezien er geen precieze manier is om deze afmetingen exact te meten. Als u ze echter nauwkeuriger zou kunnen meten, zou u zien dat de verhouding voor elk van de gegeven items in de richting van 3,14 zou gaan. De wiskundige naam voor de verhouding is pi, en wordt weergegeven door de Griekse letter .

is een niet-beëindigende, niet-herhalende decimaal, dus het is onmogelijk om het volledig uit te schrijven. De eerste 10 cijfers van zijn 3,141592653; het wordt vaak afgerond tot 3,14 of geschat als de breuk . Merk op dat zowel 3,14 als benaderingen zijn van, en worden gebruikt in berekeningen waarbij het niet belangrijk is om precies te zijn.

Omdat je weet dat de verhouding tussen omtrek en diameter (of ) consistent is voor alle cirkels, kun je dit getal gebruiken om de omtrek van een cirkel te vinden als je de diameter kent.

= , dus C = d

Ook, omdat d = 2r, dan is C = d = (2r) = 2r.

Omtrek van een cirkel

Om de omtrek (C) van een cirkel te vinden, gebruikt u een van de volgende formules:

Als u de diameter (d) van een cirkel weet:

Als je de straal (r) van een cirkel weet:

Een cirkel heeft een straal van 8 inches. Wat is de omtrek, afgerond op de dichtstbijzijnde inch?

A) 25 inch

B) 50 inch

C) 64 inch2

D) 201 inch

is een belangrijk getal in de meetkunde. Je hebt het al gebruikt om de omtrek van een cirkel te berekenen. Je gebruikt ook bij het berekenen van de oppervlakte van een cirkel.

Area of a Circle

Om de oppervlakte (A) van een cirkel te vinden, gebruik je de formule:

Een knoop heeft een doorsnede van 20 millimeter. Wat is de oppervlakte van de knoop? Gebruik 3,14 als benadering van .

A) 62,8 mm

B) 314 mm2

C) 400 mm2

D) 1256 mm2

Nu je weet hoe je de omtrek en oppervlakte van een cirkel kunt berekenen, kun je deze kennis gebruiken om de omtrek en oppervlakte van samengestelde figuren te vinden. De truc om dit soort problemen op te lossen is om vormen (en delen van vormen) binnen de samengestelde figuur te identificeren, hun individuele afmetingen te berekenen, en ze dan bij elkaar op te tellen.

Kijk bijvoorbeeld eens naar de afbeelding hieronder. Is het mogelijk om de omtrek te vinden?

De eerste stap is om eenvoudigere figuren binnen deze samengestelde figuur te identificeren. Je kunt het opdelen in een rechthoek en een halve cirkel, zoals hieronder te zien is.

Je weet hoe je de omtrek van een rechthoek kunt vinden, en je weet hoe je de omtrek van een cirkel kunt vinden. Hier is de omtrek van de drie zijden van de rechthoek 8 + 20 + 20 = 48 voet. (Merk op dat slechts drie zijden van de rechthoek worden opgeteld bij de omtrek van de samengestelde figuur, omdat de andere zijde niet aan een rand ligt; deze wordt bedekt door de halve cirkel!)

Om de omtrek van de halve cirkel te vinden, gebruikt u de formule met een diameter van 8 voet, en dan neemt u de helft van de uitkomst. De omtrek van de halve cirkel is , of ongeveer 12,56 voet, dus de totale omtrek is ongeveer 60,56 voet.

Wat is de oppervlakte (op een honderdste nauwkeurig) van de figuur hieronder? (Beide afgeronde gebieden zijn halve cirkels.)

A) 16,56 in2

B) 7,14 in2

C) 4 in2

D) 3,14 in2

Cirkels zijn een belangrijke meetkundige vorm. De afstand rond een cirkel wordt de omtrek genoemd, en de binnenruimte van een cirkel wordt de oppervlakte genoemd. Voor de berekening van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel is een getal nodig dat pi () heet, en dat een niet-afbrekend, niet-herhalend decimaal getal is. Pi wordt vaak benaderd met de waarden 3,14 en . U kunt de omtrek of oppervlakte van samengestelde vormen vinden – met inbegrip van vormen die cirkelvormige doorsneden bevatten – door waar nodig de omtrek- en oppervlakteformules toe te passen.