Integratie en Differentiatie zijn twee zeer belangrijke begrippen in de calculus. Deze worden gebruikt om de verandering te bestuderen. Calculus kent een grote verscheidenheid aan toepassingen op vele gebieden van wetenschap en economie. We kunnen calculus ook tegenkomen in de financiële wereld en in beursanalyses. In dit artikel zullen we enkele differentiatie- en integratieformules met voorbeelden behandelen. Laat ons het interessante concept leren!

Differentiatie en Integratieformule

Wat is Differentiatie?

Differentiatie is de algebraïsche procedure van het berekenen van de afgeleiden. De afgeleide van een functie is de helling of de gradiënt van de gegeven grafiek in een gegeven punt. De gradiënt van een kromme in een bepaald punt is de waarde van de raaklijn aan die kromme in het gegeven punt. Voor een niet-lineaire kromme varieert de gradiënt van de kromme op verschillende punten langs de as. In dergelijke gevallen is het dus moeilijk om de gradiënt te berekenen.

Het is ook gedefinieerd als de verandering van een eigenschap ten opzichte van een eenheidsverandering van een andere eigenschap.

(Delta f(x)}{ Delta x})

is een maat voor de veranderingssnelheid van f(x), ten opzichte van x.

En de grenswaarde van deze verhouding, naarmate f(x) naar nul toeneemt,

d.w.z. \lim_{\Delta x}naar 0} \frac{f(x)}{\Delta x})

wordt de eerste afgeleide van de functie f(x) genoemd.

Wat is integreren?

Integreren is het proces om bepaalde of onbepaalde integralen te berekenen. Voor een functie f(x) en een gesloten interval op de reële lijn is de bepaalde integraal,

(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)

de oppervlakte tussen de grafiek van de functie, de horizontale as, en de twee verticale lijnen. Deze twee lijnen liggen op de eindpunten van een interval.

Wanneer een bepaald interval niet gegeven is, spreekt men van een onbepaalde integraal.

We zullen de bepaalde integraal berekenen door gebruik te maken van anti-derivaten. Daarom is integratie het omgekeerde proces van differentiëren.

Bedenk dat differentiëren de helling van een kromme berekent, terwijl integratie het gebied onder de kromme berekent, anderzijds is integratie het omgekeerde proces ervan.

Enkele basisformules voor differentiëren

(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c is een constante.

(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1

(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}

(4) \frac{d}{dx}(upm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)

(6) \frac{d}{dx}(uv)=udvdx+vdudx \frac{d}{dx}(uv)=udvdx+vdudx \)

(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx})u dit is Productregel

Enkele basisintegratieformules

(1) \(\int1; dx = x+c \)

(2) \int m \;dx = mx + c \)

(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)

(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)

(5) \int cos x \;dx = sin x + c \)

(6) \int sec^2 x \;dx = tan x + c ²)

(7) \int \frac{1}{x} \;dx = ln; x + c ²)

(8) \int e^x \;dx = e^x + c \)

(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)

Opgeloste voorbeelden voor u

Q.1: Wat is \(\frac{d}{dx} x^5)?

Oplossing: We passen de formule toe

(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} )

Hier n=5, Dus

Oplossing is \(5x^4 \)