Geschiedenis van logaritmen

De uitvinding van logaritmen werd voorafgegaan door de vergelijking van rekenkundige en meetkundige reeksen. In een meetkundige rij vormt elke term een constante verhouding met zijn opvolger; bijvoorbeeld, …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… heeft een gemeenschappelijke verhouding van 10. In een rekenkundige rij verschilt elke opeenvolgende term door een constante, bekend als het gemeenschappelijke verschil; bijvoorbeeld, …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… heeft een gemeenschappelijk verschil van 1. Merk op dat een meetkundige rij kan worden geschreven in termen van zijn gemeenschappelijke verhouding; voor het voorbeeld van de meetkundige rij hierboven: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Het vermenigvuldigen van twee getallen in de meetkundige rij, bijvoorbeeld 1/10 en 100, is gelijk aan het optellen van de overeenkomstige exponenten van de gemeenschappelijke verhouding, -1 en 2, om 101 = 10 te verkrijgen. De vermenigvuldiging wordt dus omgezet in optelling. De oorspronkelijke vergelijking tussen de twee reeksen was echter niet gebaseerd op een expliciet gebruik van de exponentiële notatie; dit was een latere ontwikkeling. In 1620 werd de eerste tabel gebaseerd op het concept van het verband tussen meetkundige en rekenkundige reeksen gepubliceerd in Praag door de Zwitserse wiskundige Joost Bürgi.

De Schotse wiskundige John Napier publiceerde zijn ontdekking van logaritmen in 1614. Hij wilde hulp bieden bij de vermenigvuldiging van grootheden die toen sinus werden genoemd. De gehele sinus was de waarde van de zijde van een rechthoekige driehoek met een grote schuine zijde. (De oorspronkelijke hypotenusa van Napier was 107.) Zijn definitie werd gegeven in termen van relatieve snelheden.

De logaritme, dus, van elke sinus is een getal dat zeer nauw de lijn uitdrukt die evenredig toeneemt in de meene tijd, terwijl de lijn van de gehele sinus evenredig afneemt in die sinus, waarbij beide bewegingen evenredig getimed zijn en het begin evenredig verschoven.

In samenwerking met de Engelse wiskundige Henry Briggs paste Napier zijn logaritme aan tot de moderne vorm. Voor de Naperiaanse logaritme zou de vergelijking gaan tussen punten die op een gegradueerde rechte lijn bewegen, waarbij het L-punt (voor de logaritme) gelijkmatig van min oneindig naar plus oneindig beweegt, en het X-punt (voor de sinus) van nul naar oneindig beweegt met een snelheid die evenredig is met zijn afstand tot nul. Bovendien is L nul als X één is en is hun snelheid op dit punt gelijk. De essentie van de ontdekking van Napier is dat dit een veralgemening is van het verband tussen de rekenkundige en meetkundige reeks; d.w.z. vermenigvuldiging en machtsverheffen van de waarden van het X-punt komen overeen met optelling en vermenigvuldiging van de waarden van het L-punt, respectievelijk. In de praktijk is het handig om de beweging van L en X te beperken door de voorwaarde dat L = 1 bij X = 10 naast de voorwaarde dat X = 1 bij L = 0. Deze wijziging leverde het Briggsiaanse, of gewone, logaritme op.

Napier stierf in 1617 en Briggs ging alleen verder en publiceerde in 1624 een tabel met logaritmen berekend tot 14 cijfers achter de komma voor getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000. In 1628 bracht de Nederlandse uitgever Adriaan Vlacq een 10-plaatsentabel uit voor waarden van 1 tot 100.000, met toevoeging van de ontbrekende 70.000 waarden. Zowel Briggs als Vlacq hielden zich bezig met het opstellen van trigonometrische tafels. Dergelijke vroege tabellen waren ofwel tot op een honderdste van een graad ofwel tot op een boogminuut. In de 18e eeuw werden tabellen gepubliceerd met intervallen van 10 seconden, wat handig was voor tabellen met zeven decimalen. In het algemeen zijn fijnere intervallen nodig voor de berekening van logaritmische functies van kleinere getallen – bijvoorbeeld bij de berekening van de functies log sin x en log tan x.

De beschikbaarheid van logaritmen had grote invloed op de vorm van de vlakke en sferische goniometrie. De procedures van de goniometrie werden omgewerkt tot formules waarin de bewerkingen die van logaritmen afhangen, in één keer worden uitgevoerd. Het gebruik van de tabellen bestond dan slechts uit twee stappen, het verkrijgen van logaritmen en, na het uitvoeren van berekeningen met de logaritmen, het verkrijgen van antilogaritmen.

Francis J. Murray