Abstract

De eenvoudigste weg om de zogenaamde uitbreidingen van het getalbegrip te begrijpen, loopt via de bewerkingen die omgekeerd zijn aan optellen, vermenigvuldigen en potentiëren. Laten we ons onderzoek beginnen met een opmerking van Russell die de fundamentele fout in de ingebakken opvatting van deze nieuwe ‘getallen’ blootlegt: “Een van de fouten die de ontdekking van juiste definities in dit gebied hebben vertraagd, is het gangbare idee dat elke uitbreiding van het getal de vorige soorten als speciale gevallen omvatte. Men dacht dat bij het omgaan met positieve en negatieve gehele getallen, de positieve gehele getallen geïdentificeerd konden worden met de oorspronkelijke tekenloze gehele getallen. Ook dacht men dat een breuk waarvan de noemer 1 is, kan worden geïdentificeerd met het natuurlijke getal dat de teller ervan is. En de irrationele getallen, zoals de vierkantswortel van 2, werden geacht hun plaats te vinden tussen de rationale breuken, als zijnde groter dan sommige en kleiner dan andere, zodat de rationale en irrationele getallen konden worden samengenomen in één klasse, die “reële getallen” werd genoemd. En toen het getalbegrip verder werd uitgebreid met “complexe” getallen, d.w.z. getallen met de vierkantswortel van – 1, dacht men dat onder de complexe getallen de reële getallen konden worden beschouwd waarvan het imaginaire deel (d.w.z. het deel dat een veelvoud was van de vierkantswortel van – 1) nul was. Al deze veronderstellingen waren onjuist en moeten worden verworpen… om correcte definities te kunnen geven. “1