Definitie: Een driehoek is een gesloten figuur bestaande uit drie lijnstukken.

Een driehoek bestaat uit drie lijnstukken en drie hoeken. In de figuur hierboven zijn AB, BC, CA de drie lijnstukken en ∠A, ∠B, ∠C de drie hoeken.

Er zijn drie soorten driehoeken op basis van zijden en drie op basis van hoeken.

Soorten driehoeken op basis van zijden

Equilaterale driehoek: Een driehoek waarvan alle drie de zijden even lang zijn, is een gelijkzijdige driehoek.

Omdat alle zijden gelijk zijn, zijn ook alle hoeken gelijk.

Gelijkbenige driehoek: Een driehoek met twee zijden van gelijke lengte is een gelijkbenige driehoek.

De twee hoeken tegenover de gelijke zijden zijn gelijk.

Scalene driehoek: Een driehoek met drie zijden van verschillende lengte wordt een scalene driehoek genoemd.

Soorten driehoeken op basis van hoeken

Hoekige driehoek: Een driehoek waarvan alle hoeken scherphoekig zijn, wordt een scherphoekige driehoek of Acute driehoek genoemd.

Obtuse-hoekige driehoek: Een driehoek waarvan één hoek stomphoekig is, heet een stomphoekige driehoek of Obtuse driehoek.

Right-angled triangle: Een driehoek waarvan één hoek een rechte hoek is, is een Rechthoekige driehoek of Rechte driehoek.

In bovenstaande figuur wordt de zijde tegenover de rechte hoek, BC, de hypotenusa genoemd.

Voor een Rechte driehoek ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Dit wordt de Stelling van Pythagoras genoemd.

In de driehoek hierboven is 52 = 42 + 32. Alleen een driehoek die aan deze voorwaarde voldoet is een rechthoekige driehoek.

Dus de Stelling van Pythagoras helpt om te bepalen of een driehoek rechthoekig is.

Soorten driehoeken

Er zijn verschillende soorten rechthoekige driehoeken. Vanaf nu richten we ons alleen op een speciaal paar rechthoekige driehoeken.

1. 45-45-90 driehoek
2. 30-60-90 driehoek

45-45-90 driehoek:

Een 45-45-90 driehoek is, zoals de naam al aangeeft, een rechthoekige driehoek waarbij de andere twee hoeken elk 45° zijn.

Dit is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

In ∆ DEF, DE = DF en ∠D = 90°.

De zijden in een 45-45-90 driehoek zijn in de verhouding 1 : 1 : √2.
30-60-90 driehoek:

Een 30-60-90 driehoek is, zoals de naam al aangeeft, een rechthoekige driehoek waarin de twee andere hoeken 30° en 60° zijn.

Dit is een schalene-rechthoek omdat geen van de zijden of hoeken gelijk zijn.

De zijden in een 30-60-90 driehoek zijn in de verhouding 1 : √3 : 2

Zoals alle andere rechthoekige driehoeken voldoen ook deze twee driehoeken aan de stelling van Pythagoras.

Basiseigenschappen van driehoeken

• De som van de hoeken in een driehoek is 180°. Dit heet de hoek-som eigenschap.
• De som van de lengten van twee willekeurige zijden van een driehoek is groter dan de lengte van de derde zijde. Evenzo is het verschil tussen de lengtes van twee willekeurige zijden van een driehoek kleiner dan de lengte van de derde zijde.
• De zijde tegenover de grootste hoek is de langste zijde van de driehoek en de zijde tegenover de kleinste hoek is de kortste zijde van de driehoek.


In bovenstaande figuur is ∠B de grootste hoek en is de overstaande zijde (hypotenusa) de grootste zijde van de driehoek.



In bovenstaande figuur is ∠A de grootste hoek en is de overstaande zijde BC de grootste zijde van de driehoek.

• Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de binnenste overstaande hoeken. Dit wordt de eigenschap van de buitenhoek van een driehoek genoemd.


Hier is ∠ACD de buitenhoek van de ∆ABC.

Volgens de eigenschap van de buitenhoek is ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Gelijkvormigheid en congruentie in driehoeken

Figuren met dezelfde grootte en vorm zijn congruente figuren. Als twee vormen congruent zijn, blijven ze congruent, zelfs als ze worden verplaatst of gedraaid. De vormen zouden ook congruent blijven als we de vormen spiegelen door spiegelbeelden te produceren. Twee meetkundige vormen zijn congruent als zij elkaar precies bedekken.

Figuren met dezelfde vorm maar met evenredige afmetingen zijn gelijkvormige figuren. Ze blijven op elkaar lijken, zelfs als ze worden verplaatst of gedraaid.

Gelijkvormigheid van driehoeken

Twee driehoeken worden gelijkvormig genoemd als de overeenkomstige hoeken van twee driehoeken congruent zijn en de lengten van de overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Het wordt geschreven als ∆ ABC ∼ ∆ XYZ en gezegd als ∆ ABC ‘gelijkvormig is aan’ ∆ XYZ.

Hier geldt dat ∠A = ∠X, ∠B =∠Y en ∠C = ∠Z EN

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

De nodige en voldoende voorwaarden om twee driehoeken gelijkvormig te laten zijn, zijn als volgt:
(1) Zij-zij-zij (SSS) criterium voor gelijkenis:

Als drie zijden van een driehoek evenredig zijn met de overeenkomstige drie zijden van een andere driehoek, dan wordt gezegd dat de driehoeken gelijkvormig zijn.

Hier geldt: ∆ PQR ∼ ∆ DEF as

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Zij-zij (SAS) criterium voor gelijkenis:

Als de overeenkomstige twee zijden van de twee driehoeken evenredig zijn en een ingesloten hoek is gelijk aan de overeenkomstige ingesloten hoek van een andere driehoek, dan zijn de driehoeken gelijksoortig.

Hier geldt ∆ LMN ∼ ∆ QRS waarin

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Hoek-Angle-Angle (AAA)-criterium voor gelijkenis:

Als de drie overeenkomstige hoeken van de twee driehoeken gelijk zijn dan zijn de twee driehoeken gelijkvormig.

Hier ∆ TUV ∼ ∆ PQR als

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q en ∠V = ∠R

Congruentie van driehoeken

Twee driehoeken worden congruent genoemd als alle zijden van de ene driehoek gelijk zijn aan de overeenkomstige zijden van een andere driehoek en de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Het wordt geschreven als ∆ ABC ≅ ∆ XYZ en gezegd als ∆ ABC ‘is congruent met’ ∆ XYZ.

De nodige en voldoende voorwaarden voor congruentie van twee driehoeken zijn:
(1) Zij-zij-criterium (SSS) voor congruentie:

Als drie zijden van een driehoek gelijk zijn aan de overeenkomstige drie zijden van een andere driehoek, dan worden de driehoeken congruent genoemd.

Hier geldt ∆ ABC ≅ ∆ XYZ als AB = XY, BC = YZ en AC = XZ.
(2) Zij-zij (SAS) criterium voor congruentie:

Als twee zijden en de hoek tussen de twee zijden van een driehoek gelijk zijn aan de overeenkomstige twee zijden en de ingesloten hoek van een andere driehoek, dan zijn de driehoeken congruent.

Hier geldt ∆ ABC ≅ ∆ XYZ als AB = XY, ∠A = ∠X en AC = XZ.
(3) Hoek-zij-angel (ASA)-criterium voor congruentie: Als twee hoeken en de ingesloten zijde van een driehoek gelijk zijn aan de overeenkomstige twee hoeken en de ingesloten zijde van een andere driehoek dan zijn de driehoeken congruent.

In bovenstaande figuur is ∆ ABD ≅ ∆ CBD waarin

∠ABD = ∠CBD, AB = CB en ∠ADB = ∠CDB.
(4) Haakse-hypotenusa-criterium van congruentie: Als de schuine zijde en een zijde van een rechthoekige driehoek gelijk zijn aan de overeenkomstige schuine zijde en zijde van een andere rechthoekige driehoek, dan zijn de driehoeken congruent.

Hier geldt dat ∠B = ∠Y = 90° en AB = XY, AC = XZ.

Area van een driehoek:

De oppervlakte van een driehoek wordt gegeven door de formule

Area van een driehoek = (1/2) *Base * Hoogte

Om de oppervlakte van een driehoek te vinden, trekken we een loodrechte lijn van de basis naar het tegenoverliggende hoekpunt dat de hoogte van de driehoek geeft.

Dus de oppervlakte van de ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 sq. eenheden.

Voor een rechthoekige driehoek is de oppervlakte gemakkelijk te bepalen, omdat er een zijde is die loodrecht op de basis staat, zodat we die als hoogte kunnen beschouwen.

De hoogte van de ∆ XYZ is XY en de oppervlakte is (1/2) * XZ * XY sq. units.

Nu, hoe vinden we de oppervlakte van een stomphoekige driehoek LMN ?

Voor een stompe driehoek verlengen we de basis en trekken we een lijn loodrecht van het hoekpunt naar de verlengde basis die de hoogte van de driehoek wordt.

Hieruit volgt dat de oppervlakte van de ∆ LMN = (1/2) * LM * NK sq. eenheden.

Oplos de volgende

1)

∆ ABC is een rechthoekige driehoek en CD ⊥ AB (⊥ staat voor ‘loodrecht’).

Vind i) ∠ACD en ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

Antwoord: C

Uitleg:

Overweeg ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (want som van de hoeken in een driehoek is 180°)

90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

In ∆ BCD, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (nogmaals, som van alle hoeken in een driehoek)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Bepaal of de volgende driehoeken rechthoekige driehoeken zijn

A. Beide zijn rechthoekige driehoeken
B. ∆ ABC is geen rechthoekige driehoek, ∆ DEF is een rechthoekige driehoek
C. ∆ ABC is een rechthoekige driehoek, ∆ DEF is geen rechthoekige driehoek
D. Beide zijn geen rechthoekige driehoeken

Antwoord: B

Uitleg:

Het drietal dat voldoet aan de stelling van Pythagoras is de verzameling zijden die een rechthoekige driehoek maakt.

3)

Als ∆ ABC = 3 (∆ DEF), welke van de volgende is dan juist?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° EN DE = DF = 2 en EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° EN DE = DF = 2 en EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° EN DE = DF = 2 en EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° EN DE = DF = 3 en EF = 3

Antwoord: C

Uitleg:

AB en AC zijn gelijk → tegenover elkaar liggende hoeken zijn gelijk.

Daaruit volgt ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC en ∆ DEF zijn gelijk.