Elektronenbanen van een Heliumatoom.

Figuur 1. De vorm van de elektronenbanen van een Heliumatoom in de para-configuratie, die overeenkomt met de grondtoestand van een atoom. De banen van twee elektronen zijn weergegeven met verschillende kleuren (eerste elektron – blauw, tweede elektron – groen). De rechte lijnen vanuit de kern tonen de richtingen van de baanmomenten en de richtingen van de geïnduceerde magnetische velden voor elk elektron.

Abstract.

Onze analyse van de elektronenbaan van een Heliumatoom herhaalt verschillende aspecten van onze analyse van de elektronenbaan van een Waterstofatoom, omdat het om dezelfde soorten banen gaat. Rekening houdend met het feit dat het waterstofatoom slechts één elektron heeft, was onze oplossing niet strikt de enig mogelijke oplossing voor de elektronenbaan.

In het geval van het Heliumatoom is er slechts één oplossing voor twee elektronen, die zowel dipool- als quadrupoolmomenten creëren. Extra beperkingen kunnen worden gebruikt voor modelcontrole, omdat ortho- en para-configuraties van elektronenbanen hun specifieke sets van energieniveaus hebben.

We presenteren hier zowel een eenvoudige oplossing als een gedetailleerd beeld van een elektronenbaan in Helium-atomen. Zowel para- als ortho- configuraties van elektronenbanen worden geanalyseerd. Wij verklaren waarom de grondtoestand van een Heliumatoom niet de laagste energietoestand is.

Kwantummechanische uitdrukkingen voor Hamiltonianen voor zowel Helium als Waterstof bevatten niet de term voor Maxwell Electrodynamics. Magnetische velden geïnduceerd door roterende elektronen worden eenvoudigweg genegeerd.

We combineren Elektrodynamica en Kwantum Mechanica om de exacte parameters van banen te berekenen.

Het Pauli-Principe postuleert de spinrichtingen van elektronen als omhoog en omlaag. Dit Principe moet worden gepostuleerd in de Quantum Mechanica, omdat het in tegenspraak is met zowel de Wet van Behoud van Energie als ook met de Electrostatica. Wij tonen aan dat de werkelijke spinrichtingen radiale richtingen zijn in de richting van het centrum van de kern en van het centrum van de kern af. Ons model verklaart het Pauli-Principe, maar behoeft geen postulaat.

Orbitale momenten van elektronen in ons model richten zich langs de stralen van de elektronenbanen. Zij kunnen richtingen hebben naar en weg van het centrum van de kern. In ons model zijn de elektronspins uitgelijnd langs de magnetische velden die ontstaan door de baanbeweging van de elektronen. Elektronspins gedragen zich als een kompas, dat zich uitlijnt langs het sterkere magnetische veld.

Gewikkelde energiespectra van een Heliumatoom krijgen een eenvoudige verklaring in de termen van twee soorten banen en twee reeksen energieniveaus voor het ortho- en para- Helium.

We gebruiken de Quantum Mechanica op dezelfde manier als N. Bohr gebruikte voor zijn model van het waterstofatoom, maar we gebruiken geen operatoren, zodat we niet gebonden zijn aan de statistische kenmerken van het Onzekerheidsprincipe.

Op dezelfde manier als we voor de baan van het waterstofatoom gebruikten, hoeven we het Quantum Mechanische Orbitaal Postulaat, het Pauli Postulaat of andere postulaten niet te gebruiken.

Inleiding &de Huidige stand van het probleem.

Quantum Mechanische orbitalen geven aan dat de maximale kansdichtheid om een elektron in een atoom te vinden zich binnen het proton in een waterstofatoom bevindt. De elektronenbaan wordt berekend als de convolutie van de vorm van de baan en de experimenteel gesuggereerde vorm van bolvormige schillen.

Voor een Heliumatoom werkt die benadering niet. Daarom is er naast de cirkelvorm van de elektronenbaan geen berekening van de werkelijke vorm van de elektronenbaan in een Heliumatoom.

Experimenten bewijzen dat in het geval van een Heliumatoom het verschil tussen ortho-Helium en para-Helium niet beperkt is tot het hebben van tegengestelde spin. Het zijn verschillende atomaire baanconfiguraties met verschillende reeksen van energieniveaus. De aard van dat verschil wordt niet besproken.

In Project 2 zullen we deze problemen aanpakken en andere vragen bespreken.

In het vorige deel hebben we aangegeven dat voor een waterstofatoom de differentiaalbenadering verschillende soorten oplossingen kan opleveren. De aanwezigheid van slechts één elektron maakte het vrij moeilijk om een juiste oplossing te kiezen voor een enkel dipoolmoment. Twee elektronen in een Heliumatoom creëren zowel een dipool- als een quadrupoolmoment, en beperken de parameters van elk deel van de baan tot het enkele kwart van een bol. Gecombineerd met het edele gedrag in chemische reacties, geven deze voorwaarden ons de mogelijkheid om een enkele oplossing te vinden.

Richtingen van de spins van de elektronen.

Eerst moeten we een opmerking maken over de richtingen van de spins en over de term van spin-orbitale interactie.

• De individuele spins van de elektronen in een Heliumatoom zijn gelijk aan de ene helft. De totale spin van een Heliumatoom in de grondtoestand is gelijk aan nul. Vanuit wiskundig oogpunt is dit een eenvoudige opgave van twee vectoren, die slechts één oplossing heeft in vectoralgebra. De vectoren van de spin moeten langs dezelfde lijn staan en tegengestelde richtingen hebben. Als deze vectoren niet langs dezelfde rechte lijn staan, zal hun som niet gelijk zijn aan nul. Deze twee vectoren zullen een rotatiemoment veroorzaken. Dit betekent dat in de grondtoestand van een Heliumatoom de spinvectoren van beide elektronen langs de lijn moeten liggen, die hun posities verbindt. Voor de singlet toestand zijn de richtingen van de spins tegengesteld. Deze bewering is strikt juist voor para-Helium atomen. Voor een ortho-helium configuratie ligt de situatie iets gecompliceerder en die zullen we hieronder analyseren.

Laten we hieronder eens kijken naar de richtingen van de elektronen-spins.

Figuur 2a. De som van vectoren van spin uitgelijnd langs dezelfde lijn in tegengestelde richtingen resulteert in een totale spin gelijk aan nul in ons model.

Figuur 2b. De som van de opwaartse en neerwaartse vectoren van de elektronen-spins is niet gelijk aan nul. Combinatie van deze spins resulteert in een nieuw rotatiemoment in het model, dat gebruik maakt van het Pauli-principe.

Vectoren van elektronenspins hebben een magnetisch karakter. Zij gedragen zich als een kompas, hetgeen betekent dat zij zich ordenen langs een sterker magnetisch veld, dat ontstaat door de baanbeweging van de elektronen. Dit brengt ons tot de conclusie dat magnetische vectoren van omloopmomenten in ons model ook naar het centrum van de kern moeten zijn gericht.

De voortdurende beweging van een elektron langs zijn baan induceert magnetische velden. In ons model worden vier tegengestelde magnetische velden gecreëerd in de lengte van één ronde van een elektronenbaan. Deze velden zijn gelijk in amplitude.

Heliumatoom.

Voor het Heliumatoom zullen we hetzelfde model gebruiken als we voor het Waterstofatoom hebben gebruikt. Het enige verschil is de dubbele lading van de kern en de twee elektronen op hun baan.

Energie van een bewegend elektron kan vanuit de Klassieke en Quantum Mechanica worden uitgedrukt als:

$\frac {m {\} v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

In deze formule is $m$ – de elektronmassa, $v$ – de elektronensnelheid, $h$ – de constante van Planck, $f$ – de frequentie van een elektronengolf en $n$ een geheel getal.

Vergelijking (1) vertegenwoordigt het verschil tussen de “starre rotator” van de Quantum Mechanica en ons model. Wij beschouwen elk deeltje met zijn individuele golf, in plaats van twee of drie deeltjes met een enkele gecombineerde golf. In ons model moeten golven onderling interfereren, maar kunnen ze niet eenvoudig worden opgeteld.

Daarom wordt formule (1) voor elk individueel elektron geschreven en is het hetzelfde voor waterstof- of heliumatomen.

De lengte van vier hemisferen moet gelijk zijn aan:

$L = 4 {\an5} \r = n \cdot \lambda$ (2).

De frequentie van de rotatie van de elektronenbaan kan worden gevonden als de snelheid van het elektron gedeeld door de lengte van de baan:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\ } \(3).

Substitutie van de frequentie uit (3) in (1) levert op:

$\frac {m {\} v^2}{2} = h {\} \frac {v {\ } n }{4 {\} \r} = \frac {\hbar {v {\ } n}{2 {\ } r} $ (4a).

We gebruiken de gereduceerde Planckconstante $\hbar = \frac {h}{2 \pi}$ in uitdrukking (4a).

Als resultaat van vergelijking (4) krijgen we de uitdrukking voor het elektronbaanmoment:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Uitdrukking (4) betekent dat het elektronbaanmoment gelijk is aan het gehele getal, vermenigvuldigd met de gereduceerde Planckconstante. Deze uitdrukking is dezelfde als die voor het waterstofatoom en betekent dat we het baanmomentpostulaat voor het Heliumatoom niet nodig hebben. Deze conclusie zal van belang zijn voor andere atomen van het periodiek systeem met elektronenbanen van het $s$ type in hun structuur.

In onze analyse van de vorm van de elektronenbaan van het waterstofatoom kwamen we tot de conclusie dat er geen numerieke oplossing is voor het type baan, waarbij de vectoren van de geïnduceerde magnetische velden evenwijdig lopen met of loodrecht staan op de $x, y, z$ assen. Een dergelijke baanconfiguratie zou in tegenspraak zijn met het resultaat van vergelijking (4).

Oplossing voor de Faraday-vergelijking

$ E \cdot ds = – \frac{Phi _{mag}}{\partieel t}$ (5)

vonden we in de vorm van de elliptische elektronenbaan, geprojecteerd op het boloppervlak.

Figuur 3. Figuur 3. Elektronenbaan voor de ortho-configuratie van het Heliumatoom.

Figuur 4. Elektronenbaan voor de para-configuratie van het Heliumatoom. Groene elektron beweegt langs de blauwe lijn. Blauwe elektron beweegt langs de groene lijn. Dit is gedaan voor een beter contrast. De rechte lijnen geven de richting van de inducerende velden aan.

In de para-configuratie vertonen zowel de baanconfiguratie als de posities van de elektronen op elk willekeurig moment een puntvormige sferische symmetrie. Dit betekent dat de rechte lijn die de posities van de elektronen verbindt, altijd door het middelpunt van de kern gaat.

De procedure om de parameters van de elektronenbaan te vinden is dezelfde als die we voor het waterstofatoom hebben gebruikt. We moeten de waarden vinden van drie parameters, die de elliptische baan van de elektronen in het Heliumatoom bepalen en we zullen deze waarden uitdrukken in de eenheden van de straal van de elektronenbaan.

We beginnen met de ortho-configuratie.

Hoewel de waarden voor deze parameters, uitgedrukt in eenheden van straal, gelijk zijn aan de uitdrukkingen voor het waterstofatoom, zijn de werkelijke waarden voor het Heliumatoom verschillend:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 \cdot r = \frac {2.504 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot \hbar^2 \cdot n^2}{m \cdot e^2} $ (6).

De energie van het Helium ion, als er nog maar één elektron in de baan zit, is dezelfde als die berekend is in het model van Bohr:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot epsilon_0 \cdot h^2} = 54.4 eV$ (7).

Dit resultaat is bekend en behoeft geen extra interpretatie.

In het geval van een Heliumatoom met twee elektronen die om de atoomkern draaien, beginnen we met berekeningen van de baanlengte.

De baanlengte is gelijk aan:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Wij hebben de formule van Ramanujan voor de lengte van de ellips in onze berekeningen gebruikt.

Deze banen hebben drie parameters $a, b$ en $r$. Net als bij het waterstofatoom kunnen de waarden voor de parameters $a$ en $b$ in de eenheden van de sferische straal $r$ van de baan worden uitgedrukt als:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

De functie, die de baan van het elektron voorstelt, alsmede de afgeleide van deze functie, zijn continu en hebben geen singulariteiten.

Voor twee elektronen op het oppervlak van de bol is er evenwicht tussen de Coulomb-kracht en de centripetale kracht:

$ \r^2} = \frac{2 m {\ } v^2}{r} $ (10).

De snelheid van het elektron kan uit (10) worden uitgedrukt als:

$v = \sqrt{ \frac {e^2}{4 {\} \pi {\} \epsilon_0 {\} r {\}m} } (11).

Formule (8) garandeert dat de uitdrukking voor het baanmoment juist is:

$m \dot v \cdot r = n \dot \hbar$ (12).

Combinatie van (11) en (12) geeft ons de straal van het boloppervlak van de elektronenbaan:

$m \dot r {\dot \dot r = n \dot \hbar$ (12).

Combinatie van (11) en (12) geeft ons de straal van het boloppervlak van de elektronenbaan:

$m \dot r \sqrt{ \frac {e^2}{4} \pi {\} \epsilon_0 r {\}m} } = n \cdot \hbar$ (13).

$m^2 \cdot r^2 {\} \frac {e^2}{4} \pi {\} \epsilon_0 r {\ }m} = n^2 \cdot \hbar^2 $ (14).

$m {\ } r {\ } e^2 $=$ 4 {\ } \pi \epsilon_0 \hbar^2 {\ } n^2 $ (15).

$r = \frac {4 {\ } \pi {\} \epsilon_0 \^2}{m {\} e^2}$ (16).

De energie van twee elektronen op de Heliumbaan kan worden berekend als:

$E = 2 \cdot \frac {m {\} v^2}{2}$ (17).

De tweede macht van de elektronensnelheid kan uit (11) worden uitgedrukt als:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\} \pi {\} \epsilon_0 {\ } r {\ } m} = \frac {e^2 \cdot e^2 \cdot m}{4 {\ } \pi \epsilon_0 {\ } m {\ } 4 {\ } \. \epsilon_0 {\ } \n^2} = \frac {e^4}{4 {\ } {epsilon_0}^2 {\} h^2 {\} n^2} $ (18).

We hebben uitdrukking (16) gebruikt voor de straal van de elektronenbaan.

Vanuit vergelijking (17) zou de waarde van de energie van de elektronentoestanden gelijk zijn aan:

$E = \frac {m {\}e^4}{4 {\} {h^2 {\ n^2} = 27.2 eV $ (19).

Deze waarde is de energie voor de laagste toestand van het Heliumatoom in de ortho-configuratie. Deze hoeveelheid energie is nodig voor een elektron om het ionisatieniveau te bereiken. Als we ionisatie-energie in het vacuüm als nul aanmerken, dan moet deze energie negatief zijn.

Formule (27) beschrijft het spectrum van de energieniveaus van het Helium-atoom in een ortho-configuratie. Andere energieniveaus van ortho-helium voor $n > 1$, alsmede overgangen daartussen moeten waarneembaar zijn in Helium spectra, mits de excitatiemethode rekening houdt met spin-verboden overgangen tussen singlet para-helium grondtoestand en triplet ortho-helium aangeslagen toestanden. Onder normale omstandigheden met een optische bron van excitatie is het spectrum van ortho- Helium lijnen praktisch onzichtbaar.

Deze ortho- toestand van het Helium atoom kan niet de grondtoestand zijn, omdat zowel het orbitale moment als de spin van het atoom in deze toestand niet gelijk zijn aan nul. Dit betekent dat het Heliumatoom in deze toestand zeer reactief zou zijn en zijn gedrag zou lijken op het gedrag van een Waterstofatoom.

De grondtoestand van het monoatomaire inertiaalgas Helium behoort tot de para-toestand van Helium.

Para-Helium.

Figuur 5 hieronder toont de para-configuratie van een elektronenbaan van een Heliumatoom. De banen van één elektron zijn weergegeven in blauw en een ander in groen. Deze banen hebben een symmetriepunt in het centrum van de atoomkern. Op elk moment nemen twee elektronen posities in aan de tegenoverliggende zijden van de middellijn van de elektronenbanen. De richtingen van de baanmomenten, alsmede de richtingen van de geïnduceerde magnetische velden worden aangegeven door vier rode lijnen voor het ene elektron en door vier groene lijnen voor het andere elektron. De hoek tussen twee lijnen van dezelfde kleur is ongeveer 109,47 graden. De richtingen van twee impulsmomenten en twee magnetische velden voor elk elektron zijn naar het middelpunt van de bol en twee andere vectoren hebben richtingen weg van het middelpunt van de bol.

Figuur 5. Elektronenbanen van een Heliumatoom in de para-configuratie.

Figuur 5 toont de banen van elektronen in de para-configuratie van een Heliumatoom. Groene en blauwe elektronen bevinden zich aan tegenovergestelde zijden van de diameter van hun baan. Hun banen zijn symmetrisch ten opzichte van de protonpositie. De richtingen van het geïnduceerde magnetische veld zijn weergegeven als de groene en blauwe lijnen.

Voor de para-configuratie van een elektron zijn de totale spin, de baanmomenten en de integralen van het elektrische en het geïnduceerde magnetische veld gelijk aan nul.

Hieruit volgt dat een Heliumatoom in de para-configuratie van de baan een stabiele energietoestand inneemt en er geen externe interactie nodig is om de niet in evenwicht zijnde baanmomenten en spinvelden te compenseren. Dat is de reden waarom Heliumatomen in de para-configuratie edel, inert & monoatomisch gas zijn.

Om de waarde van de energie in de para-configuratie te vinden, moeten we de waarde van een elektronenergie in een ortho-configuratie vermenigvuldigen met de sterische vectorcoëfficiënt (zie volgende paragraaf):

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.909 $ (20).

De energie van de grondtoestand van een Heliumatoom is gelijk aan de energie van de laagste toestand in de para-configuratie:

$E_0 = 27.2 \frac {1}{2} \(1+ \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24.7 eV$ (21).

Dit resultaat komt overeen met de experimentele waarde voor de ionisatie-energie van het eerste elektron van een Heliumatoom, die gelijk is aan $E_{ionization} = 24.6 eV$. Het verschil in energie van ongeveer $Delta E = 0,1 eV$ moet worden toegeschreven aan spin-spin interactie.

Hoewel een Heliumatoom in de grondtoestand verkeert, bestaat het alleen in de para-configuratie. De aangeslagen toestanden van beide configuraties kunnen worden waargenomen in spectrale gegevens, hoewel overgangen tussen deze twee toestanden niet kunnen worden waargenomen in het geval van optische excitatie omdat zij spin-verboden zijn. Elektronenexcitatie zou dat probleem oplossen en het zou mogelijk zijn niveaus voor beide toestanden waar te nemen.

Berekeningen van de sterische vectorcoëfficiënt voor para-helium.

In onze berekeningen van het elektronenbaanmoment hebben wij gebruik gemaakt van het principe van onafhankelijkheid van orthogonale componenten van een elektronenbeweging. Zonder een speciale verklaring, veronderstelden wij dat componenten die loodrecht staan op de orbitale component, geen bijdrage leveren aan de totale energie van elektronen in een Helium atoom. Wij berekenden de energie van twee elektronensystemen alsof de totale energie wordt gecombineerd als een scalaire functie van de baanradius en verwaarloosden het vectorkarakter van de hoekcomponenten van een elektronentraject.

Vanuit het oogpunt van de Klassieke Mechanica lijkt een dergelijke benadering gerechtvaardigd, omdat twee elektronen in een Heliumatoom aan de tegengestelde uiteinden van de diameter van hun banen zijn gepositioneerd. Hetzelfde argument kan worden aangevoerd voor de Quantum Mechanica, die elektronen voorstelt als een verdeelde wolk, waarin de posities van elk elektron niet kunnen worden gedefinieerd of bepaald.

Maar onze berekeningen zijn gebaseerd op Elektrodynamica.

De energie van een elektron in een elektrisch veld kan worden berekend als veldpotentiaal vermenigvuldigd met de lading van het elektron:

$Energie = E \cdot e$ (22).

Deze uitdrukking beschrijft de potentiële energie. Zij wordt de energie van het elektron nadat het elektron de afstand langs het veld met een dergelijke potentiaal heeft afgelegd.

Volgens de formule van Faraday is het door bewegende ladingen geïnduceerde magnetische veld gelijk aan:

$ E \cdot ds = – \frac{\partieel \Phi _{mag}}{\partieel t}$ (23).

Deze formule van Faraday geeft ons de mogelijkheid om de regels van optelling van vectoruitdrukkingen te produceren, die evenredig zijn met de energieën van elk elektron. In plaats van een driedimensionale integraal van een elektrisch veld, zullen wij de som vinden van de vectoren van geïnduceerde magnetische velden voor het eerste elektron en de vector van het geïnduceerde magnetische veld voor het tweede elektron, omdat deze waarden in directe verhouding staan. Vervolgens gebruiken we de sterische coëfficiënt die we vinden voor de geïnduceerde magnetische vectoren om de energie van de elektronen te combineren.

De waarde van de energie voor elk elektron in vergelijking (24) is gelijk aan de helft van de totale energie, die we vonden voor de ortho-configuratie van het Heliumatoom:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

De energie van twee elektronensystemen zal gelijk zijn aan de energie van het eerste elektron plus de energie van het tweede elektron, vermenigvuldigd met de sterische vectorcoëfficiënt:

$Energie = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2} \(E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Inductie magnetische velden voor elk elektron in een Helium atoom hebben de geometrie van de kubus met hoeken van 109,47 graden tussen de richtingen van de geïnduceerde magnetische velden. Dit betekent dat elke vector van het geïnduceerde magnetische veld kan worden voorgesteld door een lijn van het middelpunt van de kubus naar een niet-aangrenzende hoek van de kubus:

Figuur 6. illustreert het geval voor twee elektronen met hun banen met puntsymmetrie in het middelpunt van de kubus.

De rode bol stelt de Heliumkern voor. De rode lijnen tonen de richting van het geïnduceerde magnetische veld voor één elektron. De groene lijnen geven de richting aan van de geïnduceerde magnetische velden voor het andere elektron. Van de vier vectoren voor elk elektron hebben twee vectoren richting de kern en de twee andere vectoren richting de hoek van de kubus.

De sterische coëfficiënt kan worden berekend uit figuur 6. Als we aannemen dat de lengte van de zijde van de kubus 2a eenheden is, dan is de lengte van de diagonalen AO en BO gelijk aan:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

De halve som van deze twee momentopnamen of de lijn OC heeft de lengte:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = a \cdot \sqrt 2$ (27).

Het betekent dat om het vectormoment van een tweede elektron bij de vector van het eerste elektron op te tellen, het nodig is de vector van het tweede elektron te vermenigvuldigen met de sterische coëfficiënt:

$k = \frac {1}{2} \cdot (1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 0.908 $ (24).

$E_{para} = \frac {1}{2} \(E_1 + E_2 \frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (27).

*************************