We beginnen met een enkel cijfer en werken dan naar het gebruik van meer categorieën toe, wanneer de kinderen vertrouwd zijn met het geven van wetten. Het eerste deel van de passage naar abstractie is het zetten van de tekens, het tweede deel het uitbreiden met de kaarten en het derde met behulp van mentaal rekenen, zonder de meetkundige voorstelling van de bewerking of producten en tenslotte het werken op papier.

Enkele cijfers – om de Commutatieve Wet te tonen

Materiaalbeschrijving:

Doos met gekleurde kralenstaven 1 t/m 10 (voor de vermenigvuldiger en om de bewerking geometrisch weer te geven)

Mat om op te werken

Sets kleine decimale kaarten 1 t/m 3.000 (voor tweede deel)

Een envelop

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze kaarten (het grijs staat voor de vermenigvuldiger)

Methode:

Zeg: ‘Ik ga vermenigvuldigen op een andere manier doen’, ik neem vier vijf keer’. Neem de kraalstaaf vier en de grijze vermenigvuldiger 5 en plaats ze op de ene helft van de zwarte mat. Maak de bewerking eronder door vijf kraalstaafjes vier keer te plaatsen. Zeg vervolgens: ‘Ik zal vijf maal vier proberen’, stel de vijf voor met de kralen op de andere helft van de zwarte mat, tegenover het oorspronkelijke probleem, stel het probleem voor met vier kralen van vijf eronder en vind het product, stel het op dezelfde manier voor als het product ernaast.

Zeg: ‘Dit is een speciale wet in de wiskunde die zegt dat de volgorde waarin je vermenigvuldigt geen invloed heeft op het product. Dit wordt de commutatieve wet genoemd.’

Doel:

De kinderen helpen zich bewust te worden van de commutatieve wet van vermenigvuldiging

Noten:

• De kinderen hebben gewerkt met de commutatieve wetten sinds het begin van vermenigvuldiging in het Casa, en de distributieve wetten met het decanomium (hier is de vermenigvuldiger distributief over de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger is distributief over de optelling. Nu worden de wetten bewust gegeven.
• We onderzoeken de commutatieve wetten alleen in relatie tot vermenigvuldigen
• De wetten worden al heel vroeg in de elementaire klas gegeven en dienen als overgangsoefeningen voor kinderen die net uit Casa komen, omdat de kinderen alleen vermenigvuldigen nodig hebben, de oefeningen helpen bij het consolideren en memoriseren van de tafels van vermenigvuldiging en zij helpen de kinderen zich bewust te worden van de karakteristieke eigenschappen van getallen, zodat zij hun ontdekkingen kunnen uitdrukken en de terminologie krijgen
• Het werk zelf volgt het patroon van zintuiglijke, concrete ervaring vóór terminologie en abstractie.

Wanneer deze les te geven:

Begrip van vermenigvuldiging, met inbegrip van kennis van de tafels, parallel werk met het dambord en het frame met platte bonen. Dit kan een eerste les zijn op de basisschool, kinderen kunnen eventueel overslaan met tellen om het product te vinden. Geef het vroeg, wanneer het zintuiglijke aspect een sterke invloed zal hebben, want het is enorm belangrijk bij het overbrengen van het intellectuele idee

Na de les:

Som met enkele cijfers

Som met enkele cijfers – om de commutatieve wet te laten zien

Materiaalbeschrijving:

Zoals de eenheden, met veel sets haakjes

Methode:

Zeg: ‘Vandaag gaan we iets nieuws doen, wat vermenigvuldigen. Ik ga vier en drie nemen als mijn multiplicand en om mezelf eraan te herinneren dat ik ze bij elkaar moet houden ga ik ze in deze envelop doen en ik zal ze vijf keer nemen’ (doe een staafje van vier en een staafje van drie in een envelop en leg een grijze envelop en leg een grijze multiplicandkaart van vijf) Neem dan de kralen uit de envelop en leg ze naast elkaar en zeg: ‘Er is een speciale manier om mezelf eraan te herinneren dat ik ze tussen haakjes zal zetten’ en leg de haakjes neer’. Wijzend op de vermenigvuldiging zeg je: ‘Wat betekent het, ik ga mijn vier vijf keer nemen en mijn drie vijf keer’

Leg vijf sets van vier kralenstaven en vijf sets van drie kralenstaven, ‘Nu heb ik mijn vermenigvuldiging gedaan’, draai de vijf vermenigvuldigingskaart om. Leg onder elke bewerking het deelproduct in kralen eronder

Leg er andere kralen onder om de optelling van de deelproducten te laten zien. Lees het hele probleem voor

Keer het probleem om aan de andere kant van de mat, de vermenigvuldiger wordt de vermenigvuldiger en omgekeerd, vijf wordt weergegeven in kralen op de mat en de kaartjes voor vier en drie worden in de enveloppe gelegd en vervolgens in de houder. Draai de kaarten van de vermenigvuldiger om zodra elke bewerking is voltooid.

Doel:

De kinderen helpen zich bewust te worden van de commutatieve en distributieve wetten van vermenigvuldiging

Noten:

• De distributieve wet is dat elke term in de haak wordt vermenigvuldigd met de termen erbuiten, wat de weg bereidt voor algebra.
• Dit is de eerste keer dat de kinderen haakjes gebruiken, de kinderen doen veel voorbeelden, zintuiglijk ontdekken ze de distributieve wet.
• De kinderen kunnen stoppen met het werken met de envelop wanneer ze er klaar voor zijn, de volwassene gaat door met het gebruik ervan.

Wanneer de les te geven:

Begrip van vermenigvuldiging, inclusief kennis van de tafels, parallel werken met het dambord en het platte beedframe. Dit kan een eerste les zijn op de basisschool, kinderen kunnen eventueel overslaan met tellen om het product te vinden. Geef de les zo vroeg dat het zintuiglijke aspect een sterke invloed heeft, want het is enorm belangrijk bij het overbrengen van het intellectuele idee

Na de les:

Na veel voorbeelden introduceert u de distributieve wet door te zeggen: ‘Kijk naar de eindproducten, we hadden twee termen in onze vermenigvuldigsfactor en wat hebben we gedaan, we hebben elke term van de vermenigvuldigsfactor vermenigvuldigd met de vermenigvuldigingsfactor’, waarmee u het eerste probleem aangeeft. Vervolgens hadden we twee termen in de vermenigvuldiger en we vermenigvuldigden de vermenigvuldigsfactor met elk van hen’, waarmee het tweede probleem wordt aangegeven.

Later, als de kinderen het niet doorhebben, kunt u voorstellen dat ze de grijze kaarten bij elkaar optellen en vermenigvuldigen met het andere cijfer.

Som bij som – om de commutatieve wet te laten zien

Materiaalbeschrijving:

Zoals bij de eenheden, met veel setjes haakjes en twee enveloppen

Werkwijze:

Zeg: ‘Vandaag gaan we iets nieuws doen, namelijk vermenigvuldigen, ik neem vijf en vier als vermenigvuldigingsfactor’. Doe eerst de kaartjes in een enveloppe, zeg dan: ‘Ik neem dan twee en drie keer’ doe de vermenigvuldigingskaartjes 2 en 3 in een aparte enveloppe. Dan open je de haakjes en leg je de kralen van de vermenigvuldigsand, en sluit je ze, dan vorm je de vermenigvuldiger met haakjes en de twee kaartjes in de envelop.

Leg alle vier de bewerkingen hieronder uit, zoals eerder. Tel elk deelproduct bij elkaar op en vind het gehele product. Zeg: ‘Toen ik vijf en vier nam, kreeg ik twee en drie keer vijfenveertig.’

Herhaal het probleem aan de andere kant van de mat, waarbij ik twee en drie in kralen neem en vijf en vier in kaarten. Zeg: ‘Ik heb 2 en 3 vier en vijf keer genomen en het product is 45 en ik heb 4 en 5 twee en drie keer genomen en had 45’. Vraag de kinderen of het uitmaakt wat je eerst doet (nee)

Zeg dan: ‘Alles in het eerste haakje, moet vermenigvuldigd worden met alles in het tweede haakje en elke term in de vermenigvuldiger moet vermenigvuldigd worden met elke term in de vermenigvuldiger’ (elke term in de vermenigvuldiger alles in het tweede haakje moet vermenigvuldigd worden met de vermenigvuldiger).

Doel:

De kinderen bewust laten worden van de verdelingswetten van het vermenigvuldigen.

Indirecte voorbereiding op het binomiaal vermenigvuldigen.

Noten:

• Deze oefening is zeer zintuiglijk en moet vroeg genoeg worden gedaan om de kinderen met veel voorbeelden te laten werken
• Het werk kan individueel aan jongere kinderen worden aangeboden, oudere kinderen kunnen dit als groep gebruiken om de eigenschappen van getallen te verkennen.

Wanneer de les te geven:

Begrip van vermenigvuldiging, met inbegrip van kennis van de tafels, parallel werken met het dambord en het platte bonenframe. Dit kan een eerste les zijn op de basisschool, kinderen kunnen eventueel overslaan met tellen om het product te vinden. Geef het vroeg, wanneer het zintuiglijke aspect een sterke invloed zal hebben, omdat het enorm belangrijk is bij het overbrengen van het intellectuele idee.

Na de les:

Na veel voorbeelden, introduceert u de distributieve wet door te zeggen: ‘Kijk naar de eindproducten, we hadden twee termen in onze vermenigvuldiger en wat hebben we gedaan, we hebben elke term van de vermenigvuldiger vermenigvuldigd met de vermenigvuldiger’. Geef het eerste probleem aan. ‘Toen hadden we twee termen in de multiplicand en die vermenigvuldigden we met elke term in de multiplicator.’ Geef het tweede probleem aan.

Later, als de kinderen het niet doorhebben, kunt u voorstellen dat ze de grijze kaarten bij elkaar optellen en vermenigvuldigen met het andere cijfer.

Passage naar abstractie,

Fase 1 – gebruik van de symbolen

Materiaal beschrijving:

Zoals voor de eenheden en

Drie sets van de witte kaarten (Decimale systeemkaarten voor het product)

Twee sets van de grijze kaarten (het probleem)

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze en witte kaart

Operatietekens (+, -, X, /, =)

Sets haakjes (loten)

2 kleine enveloppen waar de 10 kralenstaaf en de gedrukte cijferkaartjes in passen

Methode:

– met de kralen voor de vermenigvuldiger en de grijze kaartjes voor de vermenigvuldiger en de bewerkingstekens

Plaats de vermenigvuldiger (6 en 3) in kralen en de vermenigvuldiger (2 en 4) in kaartjes in aparte envelopjes. Zeg: ‘We weten dat als we het in de envelop hebben, we het bij elkaar willen houden en we haakjes moeten gebruiken, we gaan vandaag iets nieuws doen, we hebben zes en drie, dat betekent zes plus drie dus we gaan vandaag een plusteken toevoegen’, zet na het plaatsen van de haakjes een ‘+’ teken. Doe hetzelfde voor de vermenigvuldiger. Zeg: ‘Dan gaan we ze vermenigvuldigen met onze vermenigvuldiger, dus we zetten er een ‘X’ teken bij. Dan gaan we uitzoeken wat ze gelijk zijn dus voegen we een ‘=’ teken toe. Wat moeten we doen, we moeten onze zes en onze drie twee keer nemen en onze zes keer onze drie vier keer’, leg de bewerking eronder zoals voorheen. Ga verder met het vinden van de deelproducten en het product. Geef het product aan het eind weer in witte kaarten terwijl u het voorleest en lees de hele vermenigvuldiging voor. Werk de deelproducten en het product uit met kralen en stel het product voor met de decimale systeemkaarten.

Doel:

De kinderen bewust laten worden van de verdelingswetten van vermenigvuldiging.

Indirecte voorbereiding op binomiale vermenigvuldiging.

Stap 1 – gebruik van de tekens

Passage naar abstractie, Stap 2 – uitbreiding met behulp van witte kaarten

Materiaalbeschrijving:

Zoals voor de eenheden, twee enveloppen, met

Een set witte kaarten (Decimale systeemkaarten voor het product)

Twee sets van de grijze kaarten (de vermenigvuldiger)

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze en witte kaart

Uitbreidingstekens (+, -, X, /, =)

Sets van haakjes (loten)

Methode:

– met de kralen voor de vermenigvuldiger, grijs voor de vermenigvuldiger, witte kaartjes om uit te breiden en bewerkingstekens

Plaats de vermenigvuldiger (4 en 5) in kralen en de vermenigvuldiger (6 en 2) in kaartjes in aparte enveloppen. Zeg: ‘We weten dat als we het in de enveloppe hebben, we het bij elkaar willen houden en we haakjes moeten gebruiken, we gaan vandaag iets nieuws doen, we hebben vier en vijf’, plaats de haakjes zet een ‘+’ teken, ‘zes en twee keer’. Doe hetzelfde voor de vermenigvuldiger. Zeg, Dan gaan we uitzoeken waar ze gelijk aan zijn dus voegen we een ‘=’ teken toe. Vandaag gaan we iets anders doen, we gaan de while-kaarten gebruiken om alle vermenigvuldigingen te laten zien die we moeten doen, dus wat gaan we doen? (neem vier zes keer) Neem witte kaarten voor vier en zes en omdat we ze bij elkaar moeten houden zetten we er haakjes omheen, en dan gaan we vijf zes keer nemen’. Draai dan de ‘6’ kaart om en doe hetzelfde met de twee vermenigvuldiger. Neem de witte kaarten en plaats de haakjes en de ‘x’ kaarten om de vier vermenigvuldigingsproblemen aan te geven die opgelost moeten worden. Leg tussen elke reeks haakjes een ‘+’-kaartje om aan te geven dat later de deelproducten worden opgeteld en een ‘=’-teken aan het einde. Gebruik kralen om de vier bewerkingen eronder aan te geven. Geef het product weer in grote kaarten aan het eind als je het voorleest en lees de hele vermenigvuldiging voor.

Doel:

De kinderen helpen zich bewust te worden van de verdelingswetten van vermenigvuldiging.

Indirecte voorbereiding op binomiale vermenigvuldiging.

Stap 2 – de tekens gebruiken, de uitbreiding in kaartjes laten zien

Passage naar abstractie, Stap 3 – Werken zonder de bewerking voor te stellen

Materiaalbeschrijving:

Zoals voor de eenheden en twee enveloppen, met

Drie sets van de witte kaarten (decimale stelselkaarten voor het product)

Twee sets van de grijze kaarten (de vermenigvuldiger)

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze en witte kaart

Uitbreidingstekens (+, -, X, /, =)

Sets haakjes (loten)

2 kleine enveloppen waar de 10 kralenstaaf en de gedrukte cijferkaartjes in passen

Methode:

• met de kralen voor de vermenigvuldiger, grijs voor de vermenigvuldiger, witte kaarten om uit te breiden en bewerkingstekens dit keer zonder de bewerkingen met kralen te laten zien

Plaats de vermenigvuldiger (6 en 3) in kralen en de vermenigvuldiger (4 en 7) in kaartjes in aparte enveloppen. Zeg: ‘We weten dat als we het in de enveloppe hebben, we het bij elkaar willen houden en we haakjes moeten gebruiken, we gaan vandaag iets nieuws doen, we hebben zes en drie’, plaats de haakjes zet een ‘+’ teken, ‘vier en zeven keer’. Doe hetzelfde voor de vermenigvuldiger. Zeg: ‘Dan gaan we uitzoeken wat ze zijn, dus voegen we een ‘=’ teken toe. Vandaag gaan we iets anders doen, we gaan de while-kaarten gebruiken om alle vermenigvuldigingen te laten zien die we moeten doen, dus wat gaan we doen? (neem zes vier keer). Neem de witte kaarten en plaats de haakjes en de ‘x’-kaartjes om de vier vermenigvuldigingsproblemen aan te geven die moeten worden opgelost, draai de grijze kaarten om als ze klaar zijn en voeg ‘+’-tekens toe tussen de haakjes en ‘=’ aan het eind. Zeg: ‘Deze keer gaan we de vermenigvuldiging in ons hoofd doen’. Vraag het kind wat zes keer vier is, leg de witte kaartjes voor 24 onder het probleem en ga verder. Vraag het kind wat de som van de eenheden voor deelproducten is en geef het weer, dragend in het hoofd, zoek de som van de tientallen, geef het weer in decimale kaartjes met het gelijkheidsteken. Lees de samenvatting van de bewerkingen voor.

Doel:

De kinderen helpen zich bewust te worden van de verdelingswetten van de vermenigvuldiging.

Indirecte voorbereiding op binomiaal vermenigvuldigen.

Stap 3 – de bewerkingen worden mentaal gedaan

Noten:

• We introduceren één stap per keer.

Wanneer de les te geven:

Na veel ervaring met de witte kaarten

Verder werk:

Laat de kinderen zien dat ze het op papier kunnen doen, schrijf het probleem op papier en laat de uitbreiding eronder zien.

Werk als voorheen, waarbij u elk cijfer van de vermenigvuldiger aankruist als het klaar is. Met veel verbalisatie de deelproducten vinden, het gehele product en het antwoord schrijven bij het oorspronkelijke probleem.

Met termen Groter dan de Eenheden – kralen en grijze kaarten, werken met kralen

We tonen alle kralen in tientallen zodat de kinderen eerst het patroon krijgen, zoals we deden met de som door som, het verzamelen van de kennis, het samenbrengen en dan het uitbreiden.

Materiaal beschrijving:

Veel gouden kralen in eenheidskralen, tienstaven en honderdvierkanten

Mat om op te werken

Sets kleine decimale kaartjes 1 – 3,000 (voor tweede deel)

Een enveloppe

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze kaartjes (het grijs staat voor de vermenigvuldiger)

Veel sets haakjes en twee enveloppen

Grijze strookjes en een zwarte dikke pen voor de vermenigvuldiger

Methode:

Zeg: ‘Ik ga vermenigvuldigen op een andere manier doen’, ik neem tweeëndertig, vierentwintig keer’. Doe de kralen van de vermenigvuldiger in een enveloppe en neem grijze strookjes en een zwarte pen en schrijf de vermenigvuldiger. Leg de vermenigvuldigsfactor en de vermenigvuldigingsfactor tussen haakjes op de mat, gebruik geen tekens. Zoek het product en stel het hieronder voor in verticale gouden kralenstaven, (2 kralenstaven van tien). Zeg: ‘We nemen dertig twintig maal’ (600) en leg dertig gouden kraalstaven van tien horizontaal onder de tien staven van de vermenigvuldiger; zeg vervolgens: ‘Ik neem twee twintig maal’ (40) en leg deze onder de vermenigvuldiger, terwijl je beide reeksen kralen legt om vaak te laten zien dat je controleert hoeveel je er hebt. Draai de tienen kaart van de vermenigvuldiger om.

Zeg, ‘ik ga mijn vermenigvuldiging doen met mijn vier, drie genomen vier maal’, leg de kralenstaven van tien onder de reeds geplaatste, met een kleine tussenruimte, zeg , deze keer leg ik ze hier’. Doe hetzelfde voor de eenheidsvermenigvuldiger. Draai de eenheden vermenigvuldiger om.

Om het product te berekenen neemt u tien tienen (linker bovenhoek) en verwisselt ze met een kwadraat van tien. Doe hetzelfde met de tienen uit de rechter kolom, dan terug naar de honderdtallen en dan naar de tientallen (volgens het patroon van het opbouwen van het kwadraat van het decanomium)

volgorde van werken

Wissel dan de eenheden van de dertig en de eenheden van de twee, en vul aan langs de zijkant. (behandel op dit punt alleen de kralen keer met de tientallen van de vermenigvuldiger.

Verwissel de kralenstaven voor decimale systeemkaarten in hun groepen

Verwissel de kaarten tot je een kaart hebt voor elke categorie, schuif de decimale kaarten over elkaar om het product te onthullen.

Leer de kinderen hoe ze de symbolen voor de bewerkingen moeten plaatsen om wat er gebeurd is in een regel bovenaan het werkje te schrijven en lees de samenvatting door.

‘Vraag de kinderen of iemand de vermenigvuldiger kan zien?’ (horizontale lijn) en: “Kan iemand de vermenigvuldiger zien? (verticale lijn)

Doel:

De kinderen helpen zich bewust te worden van de binomiale formatie

Noten:

• Niet presenteren met een getal dat kan uitmonden in een kwadraat
• Het materiaal wordt neergelegd als voor som bij som
• Om het product te tonen volgen we het patroon van het kwadraat van het decanomium en het patroon van het schaakbord, om deze zintuiglijke indruk te volgen

Wanneer de les te geven:

Nadat het werk aan het begin van het dambord is voltooid en eerdere lessen met de wetten van vermenigvuldiging en nadat een werkkennis van vermenigvuldiging met tientallen en eenheden (binomiale vermenigvuldiging) is opgebouwd.

Na de les:

De kinderen werken verder met veel voorbeelden

Met termen groter dan de eenheden – Passage naar abstractie

Het schrijven van de probleemkaarten, werken zonder de bewerking voor te stellen

Materiaalbeschrijving:

Veel gouden kralen in eenhedenkralen, tienstaven en honderdvierkanten

Mat om op te werken

Sets kleine decimale kaarten 1 – 3,000 (voor het tweede deel)

Een enveloppe

Doos met gedrukte cijfers 0-9 op grijze kaarten (de grijze staan voor de vermenigvuldiger)

Veel sets haakjes

Witte strookjes om het hele probleem op te schrijven en een zwarte dikke pen

Blanke witte kaarten in plaats van kralen om de vermenigvuldiger voor te stellen en de genummerde grijze kaarten voor de vermenigvuldiger

Methode:

Zeg: ‘Vandaag gaan we vermenigvuldigingen doen met behulp van kaarten’. Terwijl u op de kaarten schrijft, zegt u: ‘Ik ga ‘(30+2) x (20+4)’ nemen. Zonder gebruik te maken van de envelop of kralen legt u het probleem in witte en grijze kaartjes, de witte kaartjes schrijft u gaandeweg met de optel-, vermenigvuldigings- en gelijkheidstekens.

Zeg: ‘Ik ga mijn vermenigvuldiging dertig twintig keer doen’, schrijf de kleine witte kaartjes en zet de uitbreiding tussen haakjes ‘(30×20) (2×20) (30×4) (2×4), als het klaar is voegt u de opteltekens toe. Draai gaandeweg de vermenigvuldigingskaartjes om.

Vraag de kinderen, wat is 30 x 20, leg er zeshonderd vierkantjes onder in dezelfde opstelling als hierboven, dan wat is twee keer twintig en leg de vier streepjes van dan rechts, dan wat is vierendertig keer, leg de twaalf baarden van de onder de honderd vierkantjes en dan twee keer vier, leg de eenheidskralen rechtsonder.

volgorde van werken

Om het product te berekenen leg je decimale kaartjes over de kralen, te beginnen met de eenheden. verzamel de kaartjes, leg gelijksoortige getallen bij elkaar en verwissel ze voordat je ze over elkaar legt om het product te krijgen. Leg het product in de bovenste regel en lees de samenvatting door.

Keer terug naar de strook papier met het probleem en schrijf het product aan het eind.

Doel:

Directe voorbereiding op kwadrateren en vierkantswortel

Dit brengt veel onderdelen van de wetten samen waar de kinderen apart mee hebben gewerkt

De kinderen leren iets fundamenteels over het gedrag van de categorieën

Noten:

• Niet presenteren met een getal dat kan uitmonden in een kwadraat
• Het materiaal wordt neergelegd als voor som bij som
• Om het product te laten zien volgen we het patroon van het kwadraat van de decanomiaal en het patroon van het schaakbord, om deze zintuiglijke indruk te volgen

Wanneer de les te geven:

Nadat het werk aan het begin van het dambord is voltooid en eerdere lessen met de wetten van vermenigvuldiging en nadat een werkkennis van vermenigvuldiging met tientallen en eenheden (binomiale vermenigvuldiging) is opgebouwd.

Na de les:

Vroeg in de lagere school, wanneer kinderen met veel voorbeelden blijven werken, komen duizendtallen niet voor in de binomiale formatie. In een bepaald stadium van hun werk kan hen worden verteld: Dit is een binomiale formatie’

Later kunt u zich bij de kinderen voegen en voorstellen het op papier te doen.

Werken op papier

(30 + 4 ) (20 +3) =