É novamente o Dia Pi (14 de Março – que é como os primeiros dígitos de pi: 3 e 14). Antes de entrar na celebração de pi deste ano, deixe-me resumir algumas das coisas mais importantes sobre este número incrível.

• Fora dos EUA, o Dia de Pi provavelmente deve ser 22 de julho (22/7) – esta fração é uma estimativa surpreendentemente boa de pi.
• Você pode encontrar o valor de pi com uma massa e uma mola.
• O valor de pi está relacionado ao campo gravitacional local.
• Vocês podem encontrar o valor de pi usando números aleatórios (este é o meu favorito).
• E finalmente – existe uma relação entre pi, e, 1, 0 e i (o número imaginário).

Mas hoje, vou calcular pi com uma integral numérica. O que é que isso quer dizer? Deixe-me começar com um exemplo, como se encontra a área de um meio círculo?

A área de um círculo é pi vezes o raio ao quadrado. Esta é metade de uma circunferência com um raio de 1 (sem unidades) de tal forma que teria uma área de pi/2. Se eu encontrar a área com algum outro método, posso simplesmente multiplicar esta área por 2 e obter pi. Esse é o plano.

Mas como você encontra a área de alguma forma – ou qualquer forma para isso? Aqui é onde o cálculo vem a calhar. Eu posso encontrar a área do meio círculo somando a área de um monte de rectângulos. Acontece que é muito fácil encontrar a área de um retângulo. Deixe-me apenas desenhar alguns rectângulos nesse meio-círculo para que possa ver o que quero dizer.

A área de cada um desses rectângulos magros pode ser encontrada com a fórmula “base vezes altura”. Um retângulo tem uma altura de “y” e uma base de “dx” onde o dx é apenas algum comprimento arbitrário ao longo do eixo x. Eu posso encontrar o valor real da altura porque o topo do retângulo atinge o círculo onde essa altura pode ser encontrada a partir da equação de um círculo.

Agora eu só preciso somar todos esses retângulos-boom, essa é a área de meio círculo. Eu posso escrever isto como uma soma de áreas como esta:

Mas espere! Isto não é uma má aproximação à área real de um círculo (meio-círculo)? Sim, isso é de facto verdade – mas depende realmente da largura destes pequenos rectângulos de área. Na verdade, se eu tomar o limite como a largura (dx) vai para zero, então eu vou obter a área exata. Esta é realmente a definição do integral em cálculo – mas vou guardar isso para outro dia. Em vez disso, vamos fazer um cálculo numérico simplesmente somando a área de um monte de retângulos. Você pode fazer isso à mão, claro, mas pode ficar entediante. Em vez disso, vamos fazer isto com um programa de computador. Yup.

Aqui está o cálculo numérico em python. Você pode ir em frente e executar o código pressionando o botão “play”, mas eu darei alguns comentários abaixo.

Você pode mudar o código se ele o faz feliz – aqui estão algumas coisas a considerar.

• Este é um cálculo numérico. Isso significa que o programa só lida com números. Tecnicamente, a área deve ter unidades de m2 ou algo parecido, mas não aqui. Apenas números.
• Para loops em python, ele inclui tudo que é tab-indentado como parte do loop. Uma vez deduzido, não está mais em um loop.
• Linha 18 deve parecer estranho porque é. Se você considerar isto como uma equação algébrica, o A deve cancelar, já que está em ambos os lados da equação – mas isto não é uma equação. Em python (e na maioria dos outros idiomas), o “=” significa “fazer igual a”. Esta linha toma o valor antigo de A, adiciona o novo material e depois torna-o no novo valor de A.

Este cálculo inicial tem um dx de 0.1. Isso significa que haverá apenas 20 rectângulos para somar e obter a área do semicírculo. Com isto, obtenho um valor aproximado de pi de 3,10452 – o que claramente não é um pi exato. Claro que posso fazer uma estimativa melhor, fazendo rectângulos de menor largura. Você deve tentar isso alterando o código acima (dica: altere o valor para dx). No entanto, como não posso deixar isso passar aqui é um gráfico do valor de pi para diferentes tamanhos de passos.

Talvez esse não seja o melhor gráfico – mas por enquanto é bom o suficiente. Se você quiser checar o código para este gráfico, aqui você vai. Mas no final, o valor aproxima-se do valor esperado de pi. Este método pode não lhe dar um milhão de dígitos de pi, mas talvez você possa ao menos aprender algo sobre integração.