História dos logaritmos

A invenção dos logaritmos foi prefigurada pela comparação de sequências aritméticas e geométricas. Numa sequência geométrica cada termo forma uma relação constante com o seu sucessor; por exemplo, …1/1.000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1.000… tem uma relação comum de 10. Numa sequência aritmética cada termo sucessivo difere por uma constante, conhecida como diferença comum; por exemplo, …-3, -2, -1, 0, 1, 1, 2, 3… tem uma diferença comum de 1. Note que uma sequência geométrica pode ser escrita em termos da sua razão comum; para o exemplo de sequência geométrica dada acima: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103…. Multiplicar dois números na sequência geométrica, digamos 1/10 e 100, é igual a adicionar os expoentes correspondentes da razão comum, -1 e 2, para obter 101 = 10. Assim, a multiplicação é transformada em adição. A comparação original entre as duas séries, porém, não se baseou em nenhum uso explícito da notação exponencial; este foi um desenvolvimento posterior. Em 1620 a primeira tabela baseada no conceito de relacionar sequências geométricas e aritméticas foi publicada em Praga pelo matemático suíço Joost Bürgi.

O matemático escocês John Napier publicou sua descoberta de logaritmos em 1614. Seu propósito era ajudar na multiplicação de quantidades que eram então chamadas de pecados. O seno inteiro era o valor do lado de um triângulo em ângulo recto com uma grande hipotenusa. (A hipotenusa original de Napier era 107.) Sua definição foi dada em termos de taxas relativas.

O logaritmo, portanto, de qualquer seno é um número que expressa de forma muito clara a linha que aumentou igualmente no tempo meeno enquanto a linha de todo o seno diminuía proporcionalmente a esse seno, sendo ambos os movimentos igualmente cronometrados e o início do mesmo turno.

Em cooperação com o matemático inglês Henry Briggs, Napier ajustou o seu logaritmo para a sua forma moderna. Para o logaritmo naperiano a comparação seria entre pontos movendo-se numa linha reta graduada, o ponto L (para o logaritmo) movendo-se uniformemente do infinito negativo ao infinito positivo, o ponto X (para o seno) movendo-se do zero ao infinito a uma velocidade proporcional à sua distância do zero. Além disso, L é zero quando X é um e a sua velocidade é igual a este ponto. A essência da descoberta de Napier é que isto constitui uma generalização da relação entre a série aritmética e geométrica; isto é, a multiplicação e elevação a uma potência dos valores do ponto X correspondem à adição e multiplicação dos valores do ponto L, respectivamente. Na prática é conveniente limitar o movimento L e X pela exigência de que L = 1 a X = 10 além da condição de que X = 1 a L = 0. Esta alteração produziu o logaritmo Briggsian, ou logaritmo comum.

Napier morreu em 1617 e Briggs continuou sozinho, publicando em 1624 uma tabela de logaritmos calculada com 14 casas decimais para números de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000. Em 1628 a editora holandesa Adriaan Vlacq publicou uma tabela de 10 lugares para valores de 1 a 100.000, somando os 70.000 valores que faltavam. Tanto Briggs como Vlacq se dedicaram à criação de tabelas trigonométricas de log. Essas primeiras tabelas eram de um centésimo de grau ou de um minuto de arco. No século XVIII, as tabelas eram publicadas em intervalos de 10 segundos, que eram convenientes para tabelas de sete casas decimais. Em geral, intervalos mais finos são necessários para calcular funções logarítmicas de números menores – por exemplo, no cálculo das funções log sin x e log tan x.

A disponibilidade de logaritmos influenciou muito a forma de trigonometria plana e esférica. Os procedimentos da trigonometria foram reformulados para produzir fórmulas em que as operações que dependem dos logaritmos são feitas de uma só vez. O recurso às tabelas consistiu então em apenas dois passos, obtendo-se logaritmos e, após a realização de cálculos com os logaritmos, obtendo-se antilogaritmos.

Francis J. Murray