Orbitas de elétrons de um átomo de hélio.

Figure 1. A forma das órbitas dos elétrons de um átomo de hélio na configuração para-, que corresponde ao estado de aterramento de um átomo. As órbitas de dois elétrons são mostradas com cores diferentes (primeiro elétron – azul, segundo elétron – verde). As linhas retas originadas no núcleo mostram as direções dos momentos orbitais e as direções dos campos magnéticos induzidos para cada elétron.

Abstract.

A nossa análise da órbita de um átomo de Hélio repete vários aspectos da nossa análise da órbita de um átomo de Hidrogénio, porque estes são os mesmos tipos de órbitas. Tendo em conta que o átomo de Hidrogénio tem apenas um electrão, a nossa solução não foi estritamente a única solução possível para a órbita dos electrões.

No caso do átomo de Hélio, existe apenas uma solução para dois electrões, que criam momentos dipolo e quadripolar. Restrições adicionais podem ser usadas para o controlo do modelo, porque a configuração ortogonal e paritária das órbitas dos electrões tem os seus conjuntos específicos de níveis energéticos.

Apresentamos aqui uma solução simples, bem como uma imagem detalhada de uma órbita de electrões em átomos de Hélio. São analisadas as configurações das órbitas dos elétrons, tanto para- como ortogonal. Explicamos porque o estado do solo de um átomo de Hélio não é o estado de menor energia.

Expressões mecânicas quânticas para Hamiltonianos tanto para Hélio como para Hidrogênio não incluem o termo para Maxwell Eletrodinâmica. Campos magnéticos induzidos por elétrons rotativos são simplesmente ignorados.

Combinamos Electrodinâmica e Mecânica Quântica para calcular os parâmetros exatos das órbitas.

O Princípio Pauli postula as direções de rotação dos elétrons como para cima e para baixo. Este Princípio precisa ser postulado na Mecânica Quântica, pois contradiz tanto a Lei de Conservação de Energia como também a Eletrostática. Nós demonstramos que as direções reais dos giros são direções radiais em direção ao centro do núcleo e longe do centro do núcleo. O nosso modelo explica o Princípio de Pauli, mas não precisa de um postulado.

Momentos orbitais dos elétrons no nosso modelo alinham ao longo dos raios das órbitas dos elétrons. Eles podem ter direções para o centro do núcleo e para fora dele. No nosso modelo, os giros dos elétrons são alinhados ao longo dos campos magnéticos criados pelo movimento orbital dos elétrons. Os giros dos elétrons se comportam como uma bússola, que se alinha ao longo do campo magnético mais forte.

Espectros complicados de energia de um átomo de Hélio obtêm uma explicação simples nos termos de dois tipos de órbitas e dois conjuntos de níveis de energia para o orto- e para o para-Hélio.

Usamos a Mecânica Quântica da mesma forma que N. Bohr usou para seu modelo de átomo de Hidrogênio, mas não usamos operadores, portanto não estamos vinculados às características estatísticas do Princípio da Incerteza.

Na mesma abordagem que usamos para a órbita do átomo de Hidrogênio não precisamos usar o Postulado Quântico Mecânico Orbital, Postulado Pauli ou qualquer outro postulado.

Introdução & o estado atual do problema.

Orbitais Quânticos Mecânicos indicam que a densidade máxima de probabilidade de encontrar um elétron em um átomo está localizada dentro do próton de um átomo de Hidrogênio. A órbita do elétron é calculada como a convolução da forma do orbital e a forma sugerida experimentalmente de conchas esféricas.

Para um átomo de Hélio, essa abordagem não funciona. É por isso que além da forma circular da órbita dos elétrons não há cálculo da forma real da órbita dos elétrons em um átomo de Hélio.

Experimentos provam que no caso de um átomo de Hélio a diferença entre orto-Hélio e para-Hélio não está restrita a ter spin oposto. São diferentes configurações de órbita atômica com diferentes conjuntos de níveis de energia. A natureza dessa diferença não é discutida.

No Projeto 2, vamos abordar esses problemas e discutir outras questões.

Na parte anterior, indicamos que para um átomo de Hidrogênio a abordagem diferencial pode produzir vários tipos de soluções. A presença de apenas um elétron tornou bastante difícil a escolha de uma solução correta para um único momento dipolo. Dois elétrons em um átomo de Hélio criam um momento dipolo e quadripolar, além de restringir os parâmetros de cada parte da órbita ao único quarto de uma esfera. Combinadas com o comportamento nobre nas reacções químicas, estas condições dão-nos a oportunidade de encontrar uma solução única.

Direções de giros do elétron.

Primeiro temos que fazer uma nota sobre as direções de giros e sobre o termo de interação spin-orbital.

• Giros individuais de elétrons em um átomo de Hélio são iguais a metade. A rotação total de um átomo de hélio no estado de terra é igual a zero. Do ponto de vista matemático, esta é uma tarefa simples de dois vectores, que tem apenas uma solução em álgebra vectorial. Os vetores de spin devem ser posicionados ao longo da mesma linha e ter direções opostas. Se estes vetores não estiverem alinhados ao longo da mesma linha reta, sua soma não será igual a zero. Estes dois vetores produzirão o momento de rotação. Isso significa que no estado de terra de um átomo de hélio, os vetores de rotação para ambos os elétrons devem estar alinhados ao longo da linha, que liga suas posições. Para o estado singlet, as direções de giros são opostas. Esta afirmação é estritamente correta para átomos de para-Hélio. Para uma configuração orto-Hélio, a situação é um pouco mais complicada e vamos analisá-la abaixo.

Deixe-nos dar uma olhada abaixo nas direções de giros dos elétrons.

Figure 2a. A soma dos vetores de giro alinhados na mesma linha em direções opostas resulta num giro total igual a zero em nosso modelo.

Figure 2b. A soma dos vetores de giro dos elétrons para cima e para baixo não é igual a zero. A combinação destes giros resulta em um novo momento de rotação no modelo, que usa o Princípio Pauli.

Vetores de giros de elétrons têm natureza magnética. Comportam-se de forma semelhante a uma bússola, o que significa que se dispõem ao longo de um campo magnético mais forte, criado pelo movimento orbital dos electrões. Isto leva-nos a concluir que os vectores magnéticos de momentos orbitais do nosso modelo também devem ser dirigidos para o centro do núcleo.

O curso contínuo de um electrão ao longo da sua trajectória induz campos magnéticos. No nosso modelo, quatro campos magnéticos opostos são criados no comprimento de uma ronda de uma órbita de electrões. Estes campos são iguais em amplitude.

Átomo de hélio.

Para o átomo de hélio devemos usar o mesmo modelo que usamos para o átomo de hidrogênio. A única diferença é a dupla carga do núcleo e dos dois elétrons na órbita.

Energy of a moving electron can be expressed from Classic and Quantum Mechanics as:

$\frac {m {\ } v^2}{2} = h \cdot f \cdot n$ (1).

Nesta fórmula $m$ – é a massa do elétron, $v$ – é a velocidade do elétron, $h$ – é a constante de Planck, $f$ – é a freqüência de uma onda de elétron e $n$ é o número inteiro.

Equação (1) representa a diferença entre o “rotador rígido” da Mecânica Quântica e o nosso modelo. Consideramos cada partícula com sua onda individual, ao invés de duas ou três partículas com uma única onda combinada. No nosso modelo, as ondas devem interferir entre si, mas não podem ser simplesmente somadas.

Por isso a fórmula (1) é escrita para cada elétron individual e é a mesma para os átomos de Hidrogênio ou Hélio.

O comprimento de quatro esferas hemi deve ser igual a:

$L = 4 {\ } \r = n {\pi } r = n \cdot \lambda$ (2).

A frequência de rotação orbital do electrão pode ser encontrada como a velocidade do electrão dividida pelo comprimento da órbita:

$f = \frac {v}{L} = \frac {v}{4 {\i} \(3).

Substituição da frequência de (3) a (1) resultará em:

$\frac {m ^2}{2} = h {\i} \n 4 \r] =frac = {\i} v n}{2 } r} $ (4a).

Usamos a constante reduzida de Planck $\i}hbar = {h}{2 {\i}$ em expressão (4a).

Como resultado da equação (4) temos a expressão para o momento orbital do elétron:

$m {\ } v {\ } r = \hbar \cdot n$ (4).

Expressão (4) significa que o momento orbital do elétron é igual ao número inteiro, multiplicado pela constante reduzida de Planck. Esta expressão é a mesma que temos para o átomo de Hidrogênio e significa que não precisamos do postulado do momento orbital para o átomo de Hélio. Esta conclusão será importante para outros átomos da Tabela periódica com órbitas de elétrons tipo $s$ na sua estrutura.

Na nossa análise da forma da órbita do átomo de Hidrogênio chegamos à conclusão de que não há solução numérica para o tipo de órbita, onde os vetores dos campos magnéticos induzidos são paralelos ou perpendiculares aos eixos $x, y, z$. Tal configuração de órbita contradiria o resultado da equação (4).

Solução para a equação de Faraday

$$# ponto E \cdot ds = – \frac{\max}}{\max_parcial t}$ (5)

encontramos na forma da trajectória elíptica dos electrões, projectada na superfície esférica.

Figura 3. Órbita dos electrões para a configuração ortogonal do átomo de Hélio.

Figure 4. Órbita dos elétrons para a configuração para- configuração do átomo de Hélio. O electrão verde move-se ao longo da linha azul. O electrão azul move-se ao longo da linha verde. Isto foi feito para um melhor contraste. Linhas rectas mostram a direcção dos campos indutivos.

Em configuração para-, a configuração das órbitas, bem como as posições dos electrões em qualquer momento, exibem uma simetria esférica do tipo ponto. Isto significa que a linha reta que liga as posições dos elétrons, sempre cruzará o centro do núcleo.

O procedimento para encontrar os parâmetros da trajetória dos elétrons é o mesmo que usamos para o átomo de hidrogênio. Temos de encontrar os valores de três parâmetros, que definem a trajectória elíptica dos electrões no átomo de Hélio e devemos expressar estes valores nas unidades do raio da órbita do electrão.

Começamos pela configuração ortogonal.

Embora os valores para estes parâmetros, expressos em unidades de raio, sejam semelhantes às expressões para o átomo de Hidrogénio, os valores reais para o átomo de Hélio são diferentes:

$a = 0.707 \cdot r = \frac {1.414 \cdot \cdot \cdot \epsilon_0 \cdot \cdot \cdot n^2}{m \cdot e^2} $, $b = 1.252 cdot r = {2.504 cdot {2.504 }pi cdot {2.504 }epsilon_0 cdot n^2 {m cdot e^2} $ (6).

A energia do íon Hélio, quando apenas um elétron é deixado na órbita, é a mesma que foi calculada no modelo de Bohr:

$E_0 = \frac {m \cdot e^4}{2 \cdot \cdot \cdot h^2} = 54.4 eV$ (7).

Este resultado é bem conhecido e não precisa de interpretação adicional.

No caso de um átomo de Hélio com dois electrões a orbitar o núcleo, começamos com os cálculos do comprimento da órbita.

O comprimento da órbita é igual a:

$L = \pi \cdot =4 \pi r$ (8).

Usamos a fórmula Ramanujan para o comprimento da elipse em nossos cálculos.

Estas órbitas têm três parâmetros $a, b$ e $r$. Similar ao átomo de hidrogênio, os valores para os parâmetros $a$ e $b$ podem ser expressos nas unidades do raio esférico $r$ da órbita como:

$a = 0,707 \cdot r$, $b = 1,252 \cdot r$ (9).

A função, que representa a trajectória dos electrões bem como a derivada desta função, são contínuas e não têm qualquer singularidade.

Para dois electrões na superfície da esfera, existe equilíbrio entre a força Coulomb e a força centrípeta:

$\frac{2 {\ } e^2}{4{\ } \r^2} = ^frac{2 m v^2}{r} $ (10).

A velocidade do electrão pode ser expressa de (10) como:

$v = ^sqrt{e^2}{4 ^2}{4 \PI… \epsilon_0 r } $ (11).

Fórmula (8) garante que a expressão para o momento orbital é correcta:

$m \cdot v \cdot r = n \cdot \bar$ (12).

Combinação de (11) e (12) dá-nos o raio da superfície esférica da órbita dos electrões:

$m \cdot r {\cdot r {\cdot r} \qrt… 4… \PI… \epsilon_0 r } = n {\an1}cdot {\an1}hbar$ (13).

$m^2 {\an1}cdot r^2 {\an1} \4… \PI… \r n^2 $ (14).

$m {\an8} r e^2 $=$ 4 {\an8} \PI… \epsilon_0 \n^2 $ (15).

$r = {4 {4}frac \PI… \epsilon_0 \n^2}{m e^2}$ (16).

A energia de dois electrões na órbita do Hélio pode ser calculada como:

$E = 2 {m v^2}{2}{2}$ (17).

A segunda potência da velocidade dos electrões pode ser expressa a partir de (11) como:

$v^2 = \frac {e^2}{4 {\ } \PI… \epsilon_0 r m =frac 2 ^cdot e^2 ^cdot m \PI… \m 4 {\ } \PI… \epsilon_0 \n^2 ^2 ^2 ^frac ^4 ^4 ^4 ^5 n^2} $ (18).

Usamos a expressão (16) para o raio da órbita do elétron.

Da equação (17), o valor da energia dos estados do elétron seria igual a:

$E = \frac {m {\ }e^4}{4 {\ } h^2 ^2 ^2 ^2 ^2} = 27.2 eV $ (19).

Este valor é a energia para o estado mais baixo do átomo de Hélio na configuração orto. Esta quantidade de energia é necessária para que um elétron atinja o nível de ionização. Se marcarmos a energia de ionização no vácuo como zero, então esta energia deve ser negativa.

Fórmula (27) descreve o espectro dos níveis de energia do átomo de Hélio em uma configuração de orto. Outros níveis de energia do ortho-Hélio por $n > 1$, assim como as transições entre eles devem ser observáveis nos espectros de Hélio, desde que o método de excitação leve em conta as transições proibidas de spin entre o estado de solo de para- Hélio simples e o estado de excitação do ortho-Hélio triplo. Em condições normais com uma fonte óptica de excitação, o espectro das linhas de orto-hélio é praticamente invisível.

Este estado do átomo de orto-hélio não pode ser o estado do solo, porque tanto o momento orbital como o spin do átomo neste estado não são iguais a zero. Isto significa que o átomo de Hélio neste estado seria altamente reativo e seu comportamento seria semelhante ao de um átomo de Hidrogênio.

O estado do solo do gás inercial monoatômico hélio pertence ao para-estado de hélio.

Para-Hélio.

Figure 5 abaixo mostra a para- configuração de uma órbita de elétrons de um átomo de hélio. A órbita de um elétron é mostrada em azul e a de outro em verde. Estas órbitas possuem um ponto de simetria no centro do núcleo. Em qualquer momento, dois elétrons ocupam posições nos lados opostos do diâmetro das órbitas dos elétrons. As direções dos momentos orbitais, assim como as direções dos campos magnéticos induzidos, estão indicadas por quatro linhas vermelhas para um elétron e por quatro linhas verdes para outro elétron. O ângulo entre quaisquer duas linhas da mesma cor é de aproximadamente 109,47 graus. As direções de dois momentos e dois campos magnéticos para cada elétron são para o centro da esfera e dois outros vetores têm direções longe do centro da esfera.

Figure 5. Órbitas de elétrons de um átomo de hélio na configuração para-.

Figure 5 mostra as órbitas dos electrões na configuração para-configuração de um átomo de Hélio. Os elétrons verde e azul estão localizados em lados opostos do diâmetro da sua órbita. As suas órbitas são simétricas em relação à posição do próton. As direcções do campo magnético induzido são mostradas como as linhas verde e azul.

Para a configuração para- de uma órbita de electrões de spin total, os momentos orbitais, assim como os integrais do campo eléctrico e do campo magnético induzido são iguais a zero.

Como resultado, um átomo de Hélio na configuração para- da órbita ocupa um estado energético estável e não é necessária qualquer interacção externa para compensar os momentos orbitais não equilibrados e os campos de spin. Esta é a razão pela qual os átomos de Hélio na configuração para-configuração são nobres, inercial & gás monoatómico.

Para encontrar o valor da energia na configuração para-, precisamos multiplicar o valor de uma energia dos electrões numa configuração orto- pelo coeficiente vectorial estéreo (ver próximo parágrafo):

$k = \frac {1}{2} \(1+frac 2) = 0,909 $ (20).

A energia do estado do solo de um átomo de hélio é igual à energia do estado mais baixo na configuração para-:

$E_0 = 27,2 {1}{2} \(1+ {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (21).

Este resultado concorda com o valor experimental da energia de ionização do primeiro elétron de um átomo de hélio, que é igual a $E_{ionização} = 24,6 eV$. A diferença de energias de cerca de $\Delta E = 0,1 eV$ deve ser atribuída à interação spin-spin.

Embora no estado do solo, um átomo de Hélio exista apenas na configuração para-. Os estados de excitação de ambas as configurações podem ser observados em dados espectrais, embora transições entre esses dois estados não possam ser observadas no caso de excitação óptica, pois são proibidos spin-spin. A excitação eletrônica resolveria esse problema e seria possível observar níveis para ambos os estados.

Cálculos do coeficiente vectorial estéreo para para-Hélio.

Nos nossos cálculos do momento orbital dos elétrons, usamos o princípio da independência dos componentes ortogonais de um movimento dos elétrons. Sem uma afirmação especial, assumimos que os componentes que são ortogonais ao componente orbital, não dão entrada na energia total dos elétrons em um átomo de Hélio. Calculamos a energia de dois sistemas de elétrons como se a energia total fosse combinada como uma função escalar do raio da órbita e negligenciamos o caráter vetorial dos componentes angulares de uma trajetória de elétrons.

Do ponto de vista da Mecânica Clássica, tal aproximação parece justificada, pois dois elétrons de um átomo de Hélio estão posicionados nos extremos opostos do diâmetro das suas órbitas. O mesmo argumento poderia ser dito para a Mecânica Quântica, que representa os elétrons como uma nuvem distribuída, onde as posições de cada elétron não podem ser definidas ou determinadas.

Mas nossos cálculos são baseados em Eletrodinâmica.

A energia de um elétron em um campo elétrico pode ser calculada como potencial de campo multiplicado pela carga do elétron:

$Energia = E \cdot e$ (22).

Esta expressão descreve a energia potencial. Ela se tornará a energia do elétron após o elétron passar a distância ao longo do campo com tal potencial.

De acordo com a fórmula de Faraday, o campo magnético induzido pelas cargas em movimento é igual a:

$\i> ponto E \cdot ds = – \frac{\i}{\i1}{\i1}{\i}{\i}(23).

Esta fórmula de Faraday nos dá a chance de produzir as regras de adição de expressões vetoriais, que são proporcionais às energias de cada elétron. Em vez de uma integral tridimensional de um campo eléctrico, encontraremos a soma dos vectores dos campos magnéticos induzidos para o primeiro electrão e o vector do campo magnético induzido para o segundo electrão porque estes valores estão em proporção directa. Depois utilizaremos o coeficiente estéreo que encontramos para os vectores magnéticos induzidos de forma a combinar a energia dos electrões.

O valor da energia para cada electrão na equação (24) é igual a metade da energia total, que encontramos para a configuração ortogonal do átomo de Hélio:

$E_1 = E_2 = \frac {27.2}{2} $ (24).

A energia de dois sistemas electrónicos será igual à energia do primeiro electrão mais a energia do segundo electrão, multiplicada pelo coeficiente vectorial estéreo:

$Energy = E_1 +k \cdot E_2 = \frac {1}{2}{2} \cdot (E_1+k \cdot E_2)$ (24).

Campos magnéticos induzidos para cada electrão num átomo de Hélio têm a geometria do cubo com os ângulos de 109,47 graus entre as direcções dos campos magnéticos induzidos. Isto significa que cada vector de campo magnético induzido pode ser representado por uma linha do centro do cubo para um canto não adjacente do cubo:

Figure 6. ilustra o caso de dois electrões com as suas órbitas tendo simetria de pontos no centro do cubo.

A esfera vermelha representa o núcleo do Hélio. As linhas vermelhas mostram a direcção do campo magnético induzido para um electrão. As linhas verdes mostram a direcção do campo magnético induzido para o outro electrão. Dos quatro vectores para cada electrão, dois vectores têm direcção para o núcleo e os outros dois vectores têm direcção para o canto do cubo.

O coeficiente esterico pode ser calculado a partir da Figura 6. Se assumirmos que o comprimento do lado do cubo como 2a unidade, então o comprimento das diagonais AO e BO seria igual a:

$AO = BO = a \cdot \sqrt 3$ (26).

Meia soma destes dois momentos ou a linha OC tem o comprimento:

$OC= \frac {1}{2} (AO + BO) = um \cdot \sqrt 2$ (27).

Significa que para adicionar o momento vetorial de um segundo elétron ao vetor do primeiro elétron é necessário multiplicar o vetor do segundo elétron pelo coeficiente estéreo:

$k = \frac {1}{2}{3} \(1+frac 2) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = {1}{2}{3}) = 0,908 $ (24).

$E_{para} = {1}frac \E_1 + E_2 {\sqrt 2}{\sqrt 3}) = 24,7 eV$ (27).

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