Definição: Um triângulo é uma figura fechada composta por três segmentos de linha.

Um triângulo é composto por três segmentos de linha e três ângulos. Na figura acima, AB, BC, CA são os três segmentos de linha e ∠A, ∠B, ∠C são os três ângulos.

Existem três tipos de triângulos baseados em lados e três baseados em ângulos.

Tipos de triângulos baseados em lados

Triângulo equilátero: Um triângulo com os três lados de igual comprimento é um triângulo equilátero.

Posto que todos os lados são iguais, todos os ângulos são iguais também.

Triângulo isósceles: Um triângulo com dois lados de igual comprimento é um triângulo isósceles.

Os dois ângulos opostos aos lados iguais são iguais.

Triângulo isósceles: Um triângulo com três lados de comprimentos diferentes é chamado triângulo escaleno.

Tipos de triângulos baseados em ângulos

Triângulo de ângulo agudo.

Tipos de triângulos baseados em ângulos

Triângulo de ângulo agudo. Um triângulo cujos ângulos são agudos é chamado triângulo de ângulo agudo ou triângulo de ângulo agudo.

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Triângulo de ângulo dúctil: Um triângulo cujo um ângulo é obtuso é um triângulo em ângulo obtuso ou triângulo obtuso.

Triângulo em ângulo recto: Um triângulo cujo um ângulo é um ângulo recto é um triângulo em ângulo recto ou triângulo direito.

Na figura acima, o lado oposto ao ângulo direito, BC é chamado de hipotenusa.

Para um triângulo direito ABC,

BC2 = AB2 + AC2

Este é chamado de Teorema de Pitágoras.

No triângulo acima, 52 = 42 + 32. Apenas um triângulo que satisfaz esta condição é um triângulo direito.

Hence, o Teorema de Pitágoras ajuda a descobrir se um triângulo é em ângulo recto.

Tipos de triângulos

Existem diferentes tipos de triângulos direitos. A partir de agora, nosso foco está apenas em um par especial de triângulos rectos.

1. 45-45-90 triângulo
2. 30-60-90 triângulo

45-45-90 triângulo:

A 45-45-90 triângulo, como o nome indica, é um triângulo direito em que os outros dois ângulos são 45° cada.

Este é um triângulo isósceles direito.

Em ∆ DEF, DE = DF e ∠D = 90°.

Os lados de um triângulo 45-45-90 estão na proporção 1 : 1 : √2.
30-60-90 triângulo:

Um triângulo 30-60-90, como o nome indica, é um triângulo direito em que os outros dois ângulos são 30° e 60°.

Este é um triângulo direito escaleno, pois nenhum dos lados ou ângulos é igual.

Os lados num triângulo 30-60-90 estão na proporção 1 : √3 : 2

Como qualquer outro triângulo direito, estes dois triângulos satisfazem o teorema de Pitágoras.

Propriedades básicas dos triângulos

• A soma dos ângulos num triângulo é de 180°. Isto é chamado de propriedade do ângulo-soma.
• A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que o comprimento do terceiro lado. Da mesma forma, a diferença entre os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é menor do que o comprimento do terceiro lado.
• O lado oposto ao maior ângulo é o lado mais longo do triângulo e o lado oposto ao menor ângulo é o lado mais curto do triângulo.


Na figura acima, ∠B é o maior ângulo e o lado oposto a ele (hipotenusa), é o lado maior do triângulo.



Na figura acima, ∠A é o maior ângulo e o lado oposto a ele, BC é o maior lado do triângulo.

• Um ângulo exterior de um triângulo é igual à soma dos seus ângulos opostos interiores. Isto é chamado de propriedade do ângulo exterior de um triângulo.


Aqui, ∠ACD é o ângulo exterior do triângulo.∆ABC.

Segundo a propriedade do ângulo exterior, ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC.

Similaridade e Congruência em Triângulos

Figuras com o mesmo tamanho e forma são figuras congruentes. Se duas formas são congruentes, elas permanecem congruentes mesmo que sejam movidas ou rodadas. As formas também permaneceriam congruentes se refletirmos as formas produzindo imagens espelhadas. Duas formas geométricas são congruentes se cobrirem uma à outra exatamente.

Figuras com a mesma forma mas com tamanhos proporcionais são figuras semelhantes. Elas permanecem semelhantes mesmo que sejam movidas ou rodadas.

Similitude dos triângulos

Diz-se que dois triângulos são semelhantes se os ângulos correspondentes de dois triângulos forem congruentes e os comprimentos dos lados correspondentes forem proporcionais.

Está escrito como ∆ ABC ∼ ∆ XYZ e dito como ∆ ABC ‘é semelhante a’ ∆ XYZ.

Here, ∠A = ∠X, ∠B =∠Y e ∠C = ∠Z E

AB / XY = BC / YZ = CA / ZX

As condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes são as seguintes:
(1) Critério Side-Side-Side (SSS) para similaridade:

Se três lados de um triângulo são proporcionais aos três lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são ditos semelhantes.

Here, ∆ PQR ∼ ∆ DEF as

PQ / DE = QR / EF = RP / FD
(2) Critério de similaridade do lado lateral (SAS):

Se os dois lados correspondentes dos dois triângulos forem proporcionais e um ângulo incluído for igual ao ângulo incluído correspondente de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Here, ∆ LMN ∼ ∆ QRS no qual

∠L = ∠Q

QS / LN = QR / LM
(3) Critério de similaridade: Angle-Angle-Angle (AAA):

Se os três ângulos correspondentes dos dois triângulos forem iguais, então os dois triângulos são semelhantes.

Aqui ∆ TUV ∼ ∆ PQR as

∠T = ∠P, ∠U = ∠Q e ∠V = ∠R

Congruência de triângulos

Dois triângulos são ditos congruentes se todos os lados de um triângulo forem iguais aos lados correspondentes de outro triângulo e os ângulos correspondentes forem iguais.

Está escrito como ∆ ABC ≅ ∆ XYZ e dito como ∆ ABC ‘é congruente com’ ∆ XYZ.

As condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam congruentes são as seguintes:
(1) Critério de congruência do lado lateral (SSS):

Se três lados de um triângulo são iguais aos três lados correspondentes de outro triângulo então os triângulos são ditos congruentes.

Here, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ como AB = XY, BC = YZ e AC = XZ.
(2) Critério de congruência do lado lateral (SAS):

Se dois lados e o ângulo incluído entre os dois lados de um triângulo forem iguais aos dois lados correspondentes e o ângulo incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Here, ∆ ABC ≅ ∆ XYZ como AB = XY, ∠A = ∠X e AC = XZ.
(3) Angle-Side-Angle (ASA) critério de congruência: Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo forem iguais aos dois ângulos correspondentes e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Na figura acima, ∆ ABD ≅ ∆ CBD em que

∠ABD = ∠CBD, AB = CB e ∠ADB = ∠CDB.
(4) Critério de congruência de Hipotenusa do Ângulo Direito: Se a hipotenusa e um lado de um triângulo em ângulo recto são iguais à hipotenusa correspondente e lado de outro triângulo em ângulo recto, então os triângulos são congruentes.

Here, ∠B = ∠Y = 90° e AB = XY, AC = XZ.

Área de um triângulo:

A área de um triângulo é dada pela fórmula

Área de um triângulo = (1/2) *Base *Altura

Para encontrar a área de um triângulo, traçamos uma linha perpendicular desde a base até o vértice oposto que dá a altura do triângulo.

Então a área do ∆ PQR = (1/2) * (PR * QS) = (1/2) * 6 *4 =12 unidades quadradas.

Para um triângulo direito, é fácil encontrar a área, pois há um lado perpendicular à base, então podemos considerá-la como altura.

A altura do ∆ XYZ é XY e sua área é (1/2) * XZ * XY unidades quadradas.

Agora, como encontramos a área de um triângulo obtuso LMN ?

Para um triângulo obtuso, estendemos a base e traçamos uma linha perpendicular do vértice até a base estendida que se torna a altura do triângulo.

Hence, a área do ∆ LMN = (1/2) * LM * NK sq. units.

Solve o seguinte

1)

∆ ABC é um triângulo direito e CD ⊥ AB (⊥ significa ‘perpendicular’).

Find i) ∠ACD e ii) ∠ABC.

A. 25, 35
B. 35, 35
C. 25, 25
D. 35, 25

A: C

Explicação:

Consider ∆ ACD.

∠ADC + ∠DAC + ∠ACD = 180° (já que a soma dos ângulos em um triângulo é 180°)

>90 + 65 + ∠ACD = 180° → ∠ACD = 25°

∠ACD + ∠DCB = 90° → 25 + ∠DCB = 90 → ∠DCB = 65°

>

In ∆ DCB, ∠DCB + ∠CBD + ∠BDC = 180° (novamente, soma de todos os ângulos em um triângulo)

65 + ∠CBD + 90 = 180 → ∠CBD = 25° = ∠ABC.

2) Determine se os triângulos a seguir são rectos

A. Ambos são triângulos rectos
B. ∆ ABC não é um triângulo direito, ∆ DEF é um triângulo direito
C. ∆ ABC é um triângulo à direita, ∆ DEF não é um triângulo à direita
D. Ambos não são triângulos rectos

Answer: B

Explicação:

O triângulo que satisfaz o teorema de Pitágoras é o conjunto de lados que faz um triângulo direito.

3)

>Se ∆ ABC = 3 (∆ DEF), qual dos seguintes está correcto?

A. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 120° E DE = DF = 2 e EF = 3
B. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° E DE = DF = 2 e EF = 3
C. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 100° E DE = DF = 2 e EF = 3
D. ∠E = ∠F = 40°, ∠D = 110° E DE = DF = 3 e EF = 3

Resposta: C

Explicação:

AB e AC são iguais → os ângulos opostos são iguais.

Então ∠B = ∠C = 40° → ∠A = 100°.

∆ ABC = 3 (∆ DEF) → ∆ ABC e ∆ DEF são semelhantes.