Integrace a diferenciace jsou dva velmi důležité pojmy v kalkulu. Používají se ke studiu změn. Kalkul má široké uplatnění v mnoha oblastech vědy i ekonomiky. Také se s kalkulem můžeme setkat ve financích i při analýze akciového trhu. V tomto článku si uvedeme několik diferenciačních a integračních vzorců s příklady. Pojďme se seznámit se zajímavým pojmem!

Diferenciační a integrační vzorec

Co je to diferenciace?

Diferenciace je algebraický postup výpočtu derivací. Derivace funkce je sklon nebo gradient daného grafu v libovolném bodě. Gradient křivky v daném bodě je hodnota tečny vedené k této křivce v daném bodě. U nelineárních křivek se sklon křivky mění v různých bodech podél osy. Proto je v takových případech obtížné gradient vypočítat.

Je také definován jako změna vlastnosti vzhledem k jednotkové změně jiné vlastnosti.

\(\frac{ \Delta f(x)}{\Delta x}\)

je míra rychlosti změny f(x) vzhledem k x.

A mezní hodnota této míry, jak \(\Delta\) x směřuje k nule,

tj. \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x)}{\Delta x}\)

se nazývá první derivace funkce f(x).

Co je to integrace?

Integrace je postup výpočtu určitého nebo neurčitého integrálu. Pro nějakou funkci f(x) a uzavřený interval na reálné přímce,

určitý integrál,

\(\int_{a}^{b} f(x)\;dx \)

je plocha mezi grafem funkce, vodorovnou osou a dvěma svislými přímkami. Tyto dvě přímky budou v koncových bodech intervalu.

Když není dán konkrétní interval, pak se jedná o tzv. neurčitý integrál.

Počítáme určitý integrál pomocí antiderivátů. Integrace je tedy opačný proces než diferenciace.

Pamatujte, že diferenciace počítá sklon křivky, zatímco integrace plochu pod křivkou, na druhé straně integrace je její opačný proces.

Některé základní diferenční vzorce

(1) \(\frac{d}{dx}(c)\) = 0 , c je konstanta.

(2) \(\frac{d}{dx}(x)\) = 1

(3) \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

(4) \(\frac{d}{dx}(u\pm v)= \frac{d}{dx}u\pm \frac{d}{dx}v \)

(6) \(ddx(uv)=udvdx+vdudx \)

(7) \(\frac{d}{dx}{uv}=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}\)u toto je pravidlo součinu

některý základní integrační vzorec

(1) \(\int 1\; dx = x+c \)

(2) \(\int m \;dx = mx + c \)

(3) \(\int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{ n+1} + c \)

(4) \(\int sinx \;dx = -cos x +c \)

(5) \(\int cos x \;dx = sin x + c \)

(6) \(\int sec^2 x \;dx = tan x +c \)

(7) \(\int \frac{1}{x} \;dx = ln\; x + c \)

(8) \(\int e^x \;dx = e^x + c \)

(9) \(\int a^x \;dx = \frac{a^x}{ln \;a} + c \)

Řešené příklady pro vás

Q.1: Kolik je \(\frac{d}{dx} x^5\)?

Řešení: Řešení: Použijeme vzorec

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

Tady n=5, Takže

Řešení je \(5x^4 \)

.