Související stránky
Permutace
Permutace a kombinace
Počítací metody
Faktoriální lekce
Pravděpodobnost

Co je to kombinace v matematice?

Uspořádání objektů, u kterého není důležité pořadí, se nazývá kombinace. Tím se liší od permutace, kde na pořadí záleží. Předpokládejme například, že uspořádáváme písmena A, B a C. V permutaci se uspořádání ABC a ACB liší. V kombinaci jsou však uspořádání ABC a ACB stejná, protože na pořadí nezáleží.

Jaký je vzorec pro kombinaci?

Počet kombinací n věcí vzatých po r se zapisuje jako C(n, r).

Následující diagram ukazuje vzorec pro kombinaci. Posuňte stránku dolů, kde najdete další příklady a řešení, jak použít vzorec pro kombinace.

Pokud neznáte n! (n faktoriální zápis), podívejte se na lekci faktoriál

Jak použít vzorec pro kombinace k řešení slovních úloh?

Příklad:
Kolika způsoby může trenér vybrat tři plavce z pěti plavců?

Řešení:
Je 5 plavců, které je třeba vzít po 3.
Pomocí vzorce:

Trenér může vybrat plavce 10 způsoby.

Příklad:
Šest kamarádů chce sehrát tolik partií šachu, aby měl jistotu, že každý přehraje každého. Kolik partií budou muset odehrát?“

Řešení:
Je 6 hráčů, které je třeba vzít po 2.
Podle vzorce:

budou muset odehrát 15 partií.

Příklad:
V loterii je na každém losu 5 jednomístných čísel 0-9. Na každém losu je 5 jednociferných čísel.
a) Vyhráváte, pokud jsou na vašem tiketu číslice v libovolném pořadí. Jaké jsou vaše změny výhry?“
b) Vyhráli byste pouze v případě, že by váš tiket měl číslice v požadovaném pořadí. Jaké jsou vaše šance na výhru?“

Řešení:
Je 10 číslic, které je třeba vzít po 5.

a) Podle vzorce:

Šance na výhru je 1 z 252.

b) Protože záleží na pořadí, měli bychom místo kombinace použít permutaci.
P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

Šance na výhru je 1 z 30240.

Jak vyhodnocovat kombinace i řešit početní úlohy pomocí kombinací?“

Kombinace je seskupení nebo podmnožina položek. U kombinace nezáleží na pořadí.

Kolik výborů po 3 lze vytvořit ze skupiny 4 žáků?
Toto je kombinace a lze ji zapsat jako C(4,3) nebo 4C3 nebo \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right)\).

Příklad:

1. Fotbalový tým má 20 hráčů. Na hřišti je vždy 11 hráčů. Kolik různých skupin hráčů může být na hřišti v jednom okamžiku?“
2. Studentka potřebuje k dokončení studia ještě 8 hodin. Pokud splnila podmínky pro všechny předměty, kolika způsoby může v příštím semestru absolvovat 4 předměty?
3. V malé kanceláři jsou 4 muži a 5 žen. Zákazník chce, aby na pracoviště přišla skupina 2 mužů a 2 žen. Kolik různých skupin lze z kanceláře vytvořit?“

• Zobrazit videolekci

Jak řešit kombinační úlohy, které zahrnují výběr skupin na základě podmíněných kritérií?“

Příklad: Kbelík obsahuje následující kuličky: V kbelíku jsou 4 červené, 3 modré, 4 zelené a 3 žluté kuličky, což je celkem 14 kuliček. Každá kulička je označena číslem, aby se daly rozlišit.

1. Kolik sad/skupin 4 kuliček je možných?
2. Kolik sad/skupin 4 kuliček je takových, že každá z nich má jinou barvu?
3. Kolik sad 4 kuliček je takových, ve kterých jsou alespoň 2 červené?
4. Kolik je sad po 4, v nichž žádná není červená, ale alespoň jedna je zelená?

• Zobrazit videolekci

Jak řešit slovní úlohy zahrnující permutace a kombinace?“

Příklad:

1. Muzeum má 7 Picassových obrazů a chce 3 z nich uspořádat na stejné stěně. Kolika způsoby to lze udělat?
2. Kolik způsobů lze uspořádat písmena ve slově LOLLIPOP?
3. Člověk hrající poker dostane 5 karet. Kolik různých karet mohl hráč dostat?

• Zobrazit video lekci

Vyzkoušejte níže uvedenou bezplatnou kalkulačku a řešitele úloh Mathway a procvičte si různá matematická témata. Vyzkoušejte si uvedené příklady nebo zadejte vlastní úlohu a zkontrolujte si odpověď pomocí vysvětlení krok za krokem.