Historie logaritmů

Vynález logaritmů předznamenalo porovnání aritmetické a geometrické posloupnosti. V geometrické posloupnosti tvoří každý člen se svým následovníkem konstantní poměr; například …1/1 000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1 000… má společný poměr deset. V aritmetické posloupnosti se každý následující člen liší o konstantu, která se nazývá společný rozdíl; například …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… má společný rozdíl 1. Všimněte si, že geometrickou posloupnost lze zapsat ve smyslu jejího společného poměru; pro výše uvedený příklad geometrické posloupnosti: …10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103….. Vynásobení dvou čísel geometrické posloupnosti, například 1/10 a 100, se rovná sečtení odpovídajících exponentů společného poměru, tedy -1 a 2, a získáme 101 = 10. Násobení se tedy mění na sčítání. Původní porovnání obou řad však nebylo založeno na explicitním použití exponenciálního zápisu; ten vznikl až později. V roce 1620 publikoval v Praze švýcarský matematik Joost Bürgi první tabulku založenou na koncepci vztahu geometrické a aritmetické posloupnosti.

Skotský matematik John Napier publikoval svůj objev logaritmů v roce 1614. Jeho cílem bylo pomoci při násobení veličin, které se tehdy nazývaly sinusy. Celý sinus byla hodnota strany pravoúhlého trojúhelníku s velkou přeponou. (Napierova původní hypotenuse byla 107.) Jeho definice byla uvedena v termínech relativních rychlostí.

Logaritmus tedy jakéhokoli sinusu je číslo velmi neurčitě vyjadřující přímku, která se v čase meene rovnoměrně zvětšila, zatímco přímka celého sinusu se do tohoto sinusu úměrně zmenšila, přičemž oba pohyby jsou časově stejné a počátek stejně posunutý.

Ve spolupráci s anglickým matematikem Henrym Briggsem upravil Napier svůj logaritmus do moderní podoby. U Napierova logaritmu by se porovnávaly body pohybující se po odstupňované přímce, přičemž bod L (pro logaritmus) by se pohyboval rovnoměrně od minus nekonečna do plus nekonečna, bod X (pro sinus) by se pohyboval od nuly do nekonečna rychlostí úměrnou jeho vzdálenosti od nuly. Navíc L je nula, když X je jedna, a jejich rychlost je v tomto bodě stejná. Podstata Napierova objevu spočívá v tom, že se jedná o zobecnění vztahu mezi aritmetickou a geometrickou řadou, tj. násobení a zvyšování na mocninu hodnot bodu X odpovídá sčítání, resp. násobení hodnot bodu L. V tomto případě se jedná o zobecnění vztahu mezi aritmetickou a geometrickou řadou. V praxi je výhodné omezit pohyb L a X požadavkem, aby L = 1 při X = 10, navíc k podmínce, že X = 1 při L = 0. Touto změnou vznikl Briggsův neboli obyčejný logaritmus.

Napier zemřel v roce 1617 a Briggs pokračoval sám, přičemž v roce 1624 vydal tabulku logaritmů vypočtených na 14 desetinných míst pro čísla od 1 do 20 000 a od 90 000 do 100 000. V roce 1628 přinesl nizozemský vydavatel Adriaan Vlacq desetimístnou tabulku pro hodnoty od 1 do 100 000 a doplnil ji o chybějících 70 000 hodnot. Briggs i Vlacq se zabývali sestavováním logaritmických trigonometrických tabulek. Tyto rané tabulky byly buď na setinu stupně, nebo na jednu obloukovou minutu. V 18. století byly publikovány tabulky pro desetivteřinové intervaly, které byly vhodné pro tabulky na sedm desetinných míst. Obecně platí, že jemnější intervaly jsou nutné pro výpočet logaritmických funkcí menších čísel – například při výpočtu funkcí log sin x a log tan x.

Dostupnost logaritmů výrazně ovlivnila podobu rovinné a sférické trigonometrie. Postupy trigonometrie byly přepracovány tak, aby vznikly vzorce, v nichž se operace závislé na logaritmech provádějí najednou. Využití tabulek pak sestávalo pouze ze dvou kroků, získání logaritmů a po provedení výpočtů s logaritmy získání antilogaritmů.

Francis J. Murray